Cours/2025-2026
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Bertrand Benjamin
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359
1G_math/Evaluations/DS_2025-10-08/exercises.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,359 @@
\begin{exercise}[subtitle={Automatismes},step={1}, origin={Divers}, topics={}, tags={ polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie }, points={4}]
L'exercice suivante est QCM. Une seule des 4 réponses est juste. Il n'est pas demandé de justifier. Une bonne réponse rapporte un point et un mauvaise réponse ne fait ni perdre ni gagner de points.
\begin{enumerate}
% développement
\item Quelle est la forme factorisée de $f(x) = 0.5(x-2)^2 -8$?
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
\item $0.5x^2-2x-6$
\item $0.5(x-6)(x+2)$
\item $0.5(x+10)(x-6)$
\item $0.5(x-10)(x+6)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
% Calcul des termes d'une suite par récurrence avec n
\item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = \frac{3}{2}$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n + n$. Quelle est la valeur de $u_3$?
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
\item $\frac{28}{9}$
\item $\frac{37}{9}$
\item $\frac{41}{9}$
\item $\frac{31}{9}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
% Résolution d'inéquation
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $\frac{2x-3}{4} \geq \frac{2x+3}{6}$
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
\item $x \geq \frac{17}{2}$
\item $x \leq \frac{17}{2}$
\item $x \geq \frac{15}{2}$
\item $x \geq \frac{19}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
% Mesure principale d'un angle en radian
\item Quelle est la mesure principale de l'angle $\frac{17\pi}{4}$ radians?
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
\item $\frac{\pi}{4}$
\item $\frac{3\pi}{4}$
\item $-\frac{\pi}{4}$
\item $\frac{5\pi}{4}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
% Retrouver un point sur le cercle trigo à partir d'un angle
% \item
% \begin{minipage}[t]{0.6\textwidth}
% Sur le cercle trigonométrique ci-contre, quel point correspond à l'angle $\frac{5\pi}{6}$ radians?
% \begin{multicols}{2}
% \begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
% \item A
% \item B
% \item C
% \item D
% \end{enumerate}
% \end{multicols}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{0.5\textwidth}
% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[scale=2]
% % Cercle trigonométrique
% \draw[thick] (0,0) circle (1);
% % Axes
% \draw[->] (-1.3,0) -- (1.3,0);
% \draw[->] (0,-1.3) -- (0,1.3);
% % Points remarquables
% \node[circle, fill=black, inner sep=2pt, label=right:A] (A) at (1,0) {};
% \node[circle, fill=black, inner sep=2pt, label=above right:B] (B) at ({cos(30)},{sin(30)}) {};
% \node[circle, fill=black, inner sep=2pt, label=above left:C] (C) at ({cos(150)},{sin(150)}) {};
% \node[circle, fill=black, inner sep=2pt, label=below left:D] (D) at ({cos(210)},{sin(210)}) {};
% \end{tikzpicture}
% \end{center}
% \end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item On développe : $f(x) = 0.5(x-2)^2 - 8 = 0.5(x^2 - 4x + 4) - 8 = 0.5x^2 - 2x + 2 - 8 = 0.5x^2 - 2x - 6$
Puis on factorise : $0.5x^2 - 2x - 6 = 0.5(x^2 - 4x - 12) = 0.5(x-6)(x+2)$
\textbf{Réponse B}
\item $u_0 = \frac{3}{2}$
$u_1 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} + 0 = 1 + 0 = 1$
$u_2 = \frac{2}{3} \times 1 + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$
$u_3 = \frac{2}{3} \times \frac{5}{3} + 2 = \frac{10}{9} + 2 = \frac{10}{9} + \frac{18}{9} = \frac{28}{9}$
\textbf{Réponse A}
\item $\frac{2x-3}{4} \geq \frac{2x+3}{6}$
On multiplie par 12 : $3(2x-3) \geq 2(2x+3)$
$6x - 9 \geq 4x + 6$
$2x \geq 15$
$x \geq \frac{15}{2}$
\textbf{Réponse C}
\item $\frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi + \pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$
Or $4\pi = 2 \times 2\pi$ donc la mesure principale est $\frac{\pi}{4}$
\textbf{Réponse A}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Exemplaires}, step={1}, origin={E3C}, topics={}, tags={ polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie }, points={3}]
Lors du lancement d’un hebdomadaire, 1 200 exemplaires ont été vendus.
Une étude de marché prévoit une progression des ventes de 2\% chaque semaine.
On modélise le nombre d'hebdomadaires vendus par une suite $(u_n)$ où $u_n$ représente le nombre d'exemplaires vendus durant la $n$-ième semaine après le début de l'opération.
On a donc $u_0 = 1 200$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Écrire un programme Python qui permet de calculer $u_{10}$ (il n'est pas demandé de calculer cette valeur).
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item On a $u_0 = 1200$. Chaque semaine, les ventes augmentent de 2\%, donc $u_{n+1} = u_n \times 1.02$
$u_1 = 1200 \times 1.02 = 1224$
$u_2 = 1224 \times 1.02 = 1248.48$
Interprétation : Lors de la deuxième semaine après le lancement, environ 1248 exemplaires seront vendus.
\item Programme Python :
\begin{verbatim}
u = 1200
for i in range(10):
u = u * 1.02
print(u)
\end{verbatim}
Ou plus directement :
\begin{verbatim}
u_10 = 1200 * (1.02)**10
print(u_10)
\end{verbatim}
Résultat : $u_{10} = 1200 \times 1.02^{10} \approx 1462.85$ exemplaires
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={polynômes}, step={1}, origin={ma tête}, topics={}, tags={ polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie }, points={5}]
On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par
\[
f(x) = -2x^2 + 4x + 6
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coefficients du polynôme $f$.
% \item Démontrer que $f(x) = -2(x-1)^2 + 8$
% \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ ainsi que les coordonnées de son extremum.
\item Démontrer que 3 est une racine de $f$
\item Démontrer que $f(x) = -2(x-3)(x+1)$
\item Déterminer le tableau de signe de $f(x)$.
\item Tracer l'allure de la fonction $f(x)$ et placer les éléments remarquables de la fonction sur le graphique.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$ est de la forme $ax^2 + bx + c$ avec :
\begin{itemize}
\item $a = -2$
\item $b = 4$
\item $c = 6$
\end{itemize}
\item $f(3) = -2 \times 3^2 + 4 \times 3 + 6 = -18 + 12 + 6 = 0$
Donc 3 est une racine de $f$.
\item On développe $-2(x-3)(x+1)$ :
$-2(x-3)(x+1) = -2(x^2 + x - 3x - 3) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6 = f(x)$
Donc $f(x) = -2(x-3)(x+1)$
\item Les racines de $f$ sont 3 et $-1$ (puisque $f(x) = -2(x-3)(x+1)$)
Le coefficient dominant est $a = -2 < 0$, donc la parabole est tournée vers le bas.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $3$ & & $+\infty$ \\
\hline
$f(x)$ & & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Sur le graphique, on place :
\begin{itemize}
\item Les racines : $(-1, 0)$ et $(3, 0)$
\item L'ordonnée à l'origine : $(0, 6)$
\item Le sommet : $x_s = \frac{-1+3}{2} = 1$, $f(1) = -2 + 4 + 6 = 8$, donc $(1, 8)$
\item La parabole est tournée vers le bas
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Radians}, step={1}, origin={ma tête}, topics={}, tags={ polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie }, points={3}]
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
Sur le cercle trigonométrique ci-contre, placer les points suivants et donner la mesure de l'angle associé en degrés.
\begin{enumerate}
\item Le point $A$ est l'image de $\frac{2\pi}{3}$ radians.
\item Le point $B$ est l'image de $-\frac{3\pi}{4}$ radians.
\item Le point $C$ est l'image de $\frac{7\pi}{6}$ radians.
\item Le point $D$ est l'image de $\frac{7\pi}{2}$ radians.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
% Cercle trigonométrique
\draw[thick] (0,0) circle (1);
% Axes
\draw[->] (-1.3,0) -- (1.3,0);
\draw[->] (0,-1.3) -- (0,1.3);
% Rayons multiples de π/4
\foreach \angle in {0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315} {
\draw[gray, thin] (0,0) -- (\angle:1);
}
% Rayons multiples de π/6
\foreach \angle in {30, 60, 120, 150, 210, 240, 300, 330} {
\draw[gray, thin] (0,0) -- (\angle:1);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $\frac{2\pi}{3}$ radians $= \frac{2\pi}{3} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{2 \times 180°}{3} = 120°$
Le point $A$ se situe dans le deuxième quadrant, à $120°$ de l'axe des abscisses (sens trigonométrique).
\item $-\frac{3\pi}{4}$ radians $= -\frac{3\pi}{4} \times \frac{180°}{\pi} = -\frac{3 \times 180°}{4} = -135°$
Le point $B$ se situe dans le troisième quadrant, à $-135°$ (ou $225°$ en sens positif).
\item $\frac{7\pi}{6}$ radians $= \frac{7\pi}{6} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{7 \times 180°}{6} = 210°$
Le point $C$ se situe dans le troisième quadrant, à $210°$ de l'axe des abscisses.
\item $\frac{7\pi}{2}$ radians $= \frac{7\pi}{2} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{7 \times 180°}{2} = 630°$
Or $630° = 360° + 270° = 270°$ (mesure principale)
Le point $D$ se situe sur l'axe des ordonnées négatif, à $270°$ (ou $-90°$).
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Le virus!}, step={1}, points=5]
On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de \np{150000} habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intFF{0}{40}$ par
\begin{align*}
f(x) &= -30 x^2 + 1650 x - 13500
\end{align*}
modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de $x$ jours de suivi de la propagation.
\begin{enumerate}
\item \textit{On donne en annexe la courbe représentative de la fonction $f$. Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique. Les résultats seront justifiés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation.
\item Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 10\% de la population est touchée par la maladie. Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermées?
\end{enumerate}
\item \textit{Les questions suivantes ne devront pas être justifiées par lecture graphique.}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(x) = -30(x-27.5)^2 + 9187.5$
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Au bout de combien de jours, l'épidémie a-t-elle été à son maximum? Combien de personnes étaient alors touchées?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique :
\begin{enumerate}
\item À $x = 15$ jours, on lit $f(15) \approx 7500$ personnes touchées.
\item 10\% de 150 000 habitants = 15 000 personnes.
On cherche quand $f(x) > 15000$, mais sur le graphique on voit que $f(x)$ ne dépasse jamais 12 500, donc le maximum est inférieur à 10\%.
Les crèches n'ont jamais été fermées.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On développe $-30(x-27.5)^2 + 9187.5$ :
$-30(x-27.5)^2 + 9187.5 = -30(x^2 - 55x + 756.25) + 9187.5$
$= -30x^2 + 1650x - 22687.5 + 9187.5$
$= -30x^2 + 1650x - 13500 = f(x)$
\item La fonction $f$ est sous forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $a = -30 < 0$, $\alpha = 27.5$ et $\beta = 9187.5$.
La parabole est tournée vers le bas, donc $f$ est croissante sur $[0; 27.5]$ et décroissante sur $[27.5; 40]$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & 0 & & 27.5 & & 40 \\
\hline
& & & $9187.5$ & & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\
& $-13500$ & & & & $-10500$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item L'épidémie atteint son maximum au sommet de la parabole, soit au bout de $27.5$ jours.
À ce moment-là, $f(27.5) = 9187.5 \approx 9188$ personnes sont touchées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{annexe}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=14cm,
height=7cm,
xmin=0, xmax=50,
ymin=0, ymax=12500,
xtick distance=5,
ytick distance=2500,
minor tick num=4,
grid=both,
minor grid style={gray!30},
xlabel={\textit{Nombre de jours}},
ylabel={\textit{Nombre de personnes touchées}},
xlabel style={below},
ylabel style={above},
scaled y ticks=false,
yticklabel style={/pgf/number format/fixed, /pgf/number format/1000 sep={\,}},
thick
]
\addplot[blue, very thick, domain=0:50, samples=100] {-30*x^2 + 1650*x - 13500};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{annexe}

BIN
1G_math/Evaluations/DS_2025-10-08/solution.pdf Normal file
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33
1G_math/Evaluations/DS_2025-10-08/solution.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,33 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
% Title Page
\title{ DS2 }
\tribe{1G math}
\date{08 octobre 2025}
\duree{1h}
% Tags: polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie
\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
\xsimsetup{
exercise/print=false,
solution/print=true,
}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
\input{exercises.tex}
% \printcollection{banque}
% \vfill
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

BIN
1G_math/Evaluations/DS_2025-10-08/sujet.pdf Normal file
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31
1G_math/Evaluations/DS_2025-10-08/sujet.tex Normal file
View File

@@ -0,0 +1,31 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
% Title Page
\title{ DS2 }
\tribe{1G math}
\date{08 octobre 2025}
\duree{1h}
% Tags: polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie
\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
\xsimsetup{collect}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\vfill
\printannexes
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: