Cours/2025-2026
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Compare commits

base: Cours:12a41a30a2c3d5277148c1efb5a00d7ffb76a847
Branches Tags
Cours:main
...
compare: Cours:660f0522136782e012566d4c304d013610d3a6b0
Branches Tags
Cours:main

2 Commits
12a41a30a2 ... 660f052213

Author SHA1 Message Date
Bertrand Benjamin
660f052213 feat(1G_EnsSci): DS2
Some checks failed
Sync to mirror repository / sync (push) Failing after 1m2s
Details
Publish content / push (push) Successful in 1m19s
Details
Publish content / build (push) Successful in 4m22s
Details
Publish content / deploy (push) Successful in 48s
Details
2025-11-25 14:09:22 +01:00
Bertrand Benjamin
4a6c4be292 feat(1G_math): move on PS 2025-11-25 09:05:33 +01:00
12 changed files with 695 additions and 26 deletions
Expand all files Collapse all files

282
1G_EnsSci/Evaluations/DS_2025-11-26/exercises.tex Normal file
View File

@@ -0,0 +1,282 @@
\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, origin={<++>}, topics={}, tags={ proportions, suite }, points=7]
Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.
\begin{enumerate}
\item L'opération qui permet de calculer 25\% de 480 est
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{480}{25\times100}$
\item $25\times480\times0,1$
\item $\dfrac{480\times100}{25}$
\item $\dfrac{1}{4}\times480$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Une durée de 100 minutes correspond à
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item 1 heure
\item 1,40 heure
\item $\dfrac{5}{3}$ heures
\item 2 heures
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Quatre croissants coûtent 6 euros. Dix croissants coûtent
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item 60 euros
\item 8 euros
\item 8,50 euros
\item 15 euros
\end{enumerate}
\end{multicols}
% \item À l'issue d'une augmentation de 10\%, un article coûte 100euros. Laquelle des quatre proposition suivantes est vraie?
% \begin{enumerate}
% \item Le prix de l'article avant l'augmentation était égal à 99 euros.
% \item Le prix de l'article avant l'augmentation était égal à 120 euros.
% \item Le prix a augmenté de 10 euros.
% \item Le prix a augmenté de 11 euros.
% \end{enumerate}
\item On considère $A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}$
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $A = 0$
\item $A = \dfrac{-1}{6}$
\item $A = \dfrac{2}{3}$
\item $A = -1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item La forme développée de $(x-3)(x+2)$ est
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $x^2-5x+6$
\item $x^2-x+6$
\item $x^2-x-6$
\item $x^2-5x-6$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\noindent
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item L'image de 3 par la fonction $f$ représentée par le graphique ci-contre est
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item 2
\item -4, -2 , 2 et 4
\item 4
\item aucune des 3 autres propositions
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Les antécédents de 0 par la fonction $f$ représentée par le graphique ci-contre sont
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item 3
\item -1, 1 et 5
\item -2
\item aucune des 3 autres propositions
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
ymin=-3,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5] coordinates{%
(-5, 1)
(-4, 3)
(-3, 4)
(-2, 3)
(-1, 0)
(0, -2)
(1, 0)
(2, 3)
(3, 4)
(4, 3)
(5, 0)
};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Réponse d : $\dfrac{1}{4}\times480 = 120$
En effet, 25\% = $\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$
\item Réponse c : $\dfrac{5}{3}$ heures
$100 \text{ min} = \dfrac{100}{60} \text{ h} = \dfrac{5}{3} \text{ h} \approx 1,67 \text{ h}$
\item Réponse d : 15 euros
Prix d'un croissant : $\dfrac{6}{4} = 1,5$ euro
Prix de 10 croissants : $10 \times 1,5 = 15$ euros
\item Réponse b : $A = \dfrac{-1}{6}$
$A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = \dfrac{-1}{6}$
\item Réponse c : $x^2-x-6$
$(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$
\item Réponse c : 4
D'après le graphique, le point de coordonnées $(3; 4)$ appartient à la courbe donc $f(3) = 4$
\item Réponse b : -1, 1 et 5
Les antécédents de 0 sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$, c'est-à-dire les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Proportions}, step={1}, origin={}, topics={}, tags={ proportions, suite }, points=4]
Les questions suivantes sont indépendantes les unes des autres.
\begin{enumerate}
\item Sur 160 candidats à l'examen, 120 ont été admis. Calculer la proportion de candidats admis. Vous donnerez le résultat sous forme d'une fraction irréductible, d'une nombre décimal et d'un pourcentage.
\item Dans un lycée \np{1200} élèves, il y a 25\% des élèves qui ont les yeux bleus. Calculer le nombre d'élèves qui ont les yeux bleus.
\item Dans un panier, il y a 3kg de carottes ce qui représente 20\% du poids total du panier. Calculer le poids total du panier.
%\item Dans un devoir 40\% des questions sont des questions de calculs. Parmi les questions de calculs, 50\% sont faciles. Quelle est la proportion de calculs facile dans ce devoir?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Proportion de candidats admis : $\dfrac{120}{160} = \dfrac{3}{4} = 0,75 = 75\%$
\item Nombre d'élèves aux yeux bleus : $\np{1200} \times \dfrac{25}{100} = \np{1200} \times 0,25 = 300$ élèves
\item Poids total du panier :
On cherche le poids total $P$ tel que $P \times \dfrac{20}{100} = 3$
Donc $P = 3 \div 0,20 = 15$ kg
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Orientation}, step={1}, origin={Sesamath 2nd}, topics={ Information chiffrée }, tags={ }, points={5}]
A l'issue du conseil de classe du troisième trimestre, le professeur principale d'une classe de 2nd, qui compte 32 élèves, fait le bilan des orientations des élèves pour la première dans le tableau ci-dessous.
Il a aussi noté que, parmi les 20 filles de la classe, une se dirige vers la voie professionnelle et un quart d'entre elles poursuivront leurs études en classe de première technologique.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous en entourant les quantités qui viennent directement de l'énoncé et en détaillant les calculs réalisés pour les autres quantités.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{4}{p{3.5cm}|}}
\hline
& Générale & Technologique & Professionnelle & total \\
\hline
Garçons & 5 & 5 & & \\[1.5ex]
\hline
Filles & & & & \\[1.5ex]
\hline
Total & & & & \\[1.5ex]
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Calculer la proportion de garçons allant en général dans cette classe.
%\item Combien de filles vont poursuivre leurs études en première technologique?
\item Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses?
\begin{enumerate}
\item Moins de 10\% des élèves sont des garçons qui iront en voie technologique.
\item Les trois quarts des élèves vont en première générale.
%\item La proportion des élèves qui vont en première professionnelle est inférieur à 0.05.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Tableau complété :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{4}{p{3.5cm}|}}
\hline
& Générale & Technologique & Professionnelle & total \\
\hline
Garçons & \fbox{5} & \fbox{5} & 2 & 12 \\
\hline
Filles & 14 & 5 & \fbox{1} & \fbox{20} \\
\hline
Total & 19 & 10 & 3 & \fbox{32} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\textbf{Calculs :}
\begin{itemize}
\item Nombre de garçons : $32 - 20 = 12$
\item Nombre de garçons en voie professionnelle : $12 - 5 - 5 = 2$
\item Nombre de filles en voie technologique : $20 \times \dfrac{1}{4} = 5$
\item Nombre de filles en voie générale : $20 - 5 - 1 = 14$
\item Total voie générale : $5 + 14 = 19$
\item Total voie technologique : $5 + 5 = 10$
\item Total voie professionnelle : $2 + 1 = 3$
\end{itemize}
\item Proportion de garçons allant en général : $\dfrac{5}{32} \approx 0,156 = 15,6\%$
\item
\begin{enumerate}
\item \textbf{Faux}. 10\% des élèves représentent $32\times \frac{10}{100} = 3,2$ or il y 5 garçons qui iront en voie technologique ce qui est supérieur à 3,2 donc à 10\% des élèves.
\item \textbf{Faux}. Trois quarts des élèves représentent $32\times\dfrac{3}{4} = 24$ or il y a 19 élèves qui vont en voie générale.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Suites}, step={1}, origin={<++>}, topics={}, tags={ proportions, suite }, points=4]
Les questions suivantes sont indépendantes les unes des autres.
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs de $u(0)$, $u(1)$ et $u(10)$ pour la suite $u$ définie par $u(n) = -3n + 5$
\item Calculer les valeurs de $u(0)$, $u(1)$ et $u(10)$ pour la suite $u$ définie par $u(0) = 2$ et $u(n+1) = u(n) + 5$
\item Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u(0) = 100$ et de raison $r=25$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u(1)$ et $u(2)$.
\item Proposer une formule pour calculer $u(100)$ et calculer sa valeur
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Pour la suite $u(n) = -3n + 5$ :
\begin{itemize}
\item $u(0) = -3 \times 0 + 5 = 5$
\item $u(1) = -3 \times 1 + 5 = 2$
\item $u(10) = -3 \times 10 + 5 = -25$
\end{itemize}
\item Pour la suite définie par $u(0) = 2$ et $u(n+1) = u(n) + 5$ :
\begin{itemize}
\item $u(0) = 2$ (donné)
\item $u(1) = u(0) + 5 = 2 + 5 = 7$
\item $u(2) = u(1) + 5 = 7 + 5 = 12$
\item $u(3) = u(2) + 5 = 12 + 5 = 17$
\item ...
\item $u(10) = u(0) + 10 \times 5 = 2 + 50 = 52$
\end{itemize}
\item Pour la suite arithmétique de premier terme $u(0) = 100$ et de raison $r = 25$ :
\begin{enumerate}
\item $u(1) = u(0) + r = 100 + 25 = 125$
$u(2) = u(1) + r = 125 + 25 = 150$
\item Formule : $u(n) = u(0) + n \times r$
Donc $u(100) = 100 + 100 \times 25 = 100 + \np{2500} = \np{2600}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}

BIN
1G_EnsSci/Evaluations/DS_2025-11-26/solution.pdf Normal file
View File

Binary file not shown.

27
1G_EnsSci/Evaluations/DS_2025-11-26/solution.tex Normal file
View File

@@ -0,0 +1,27 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
% Title Page
\title{DS2 \hfill Solution}
\tribe{1G EnsSci}
\date{26 novembre 2025}
\duree{1h}
% Tags: proportions, suite
\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
\xsimsetup{
exercise/print=false,
solution/print=true,
}
\begin{document}
\maketitle
\input{exercises.tex}
%\printcollection{banque}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

BIN
1G_EnsSci/Evaluations/DS_2025-11-26/sujet.pdf Normal file
View File

Binary file not shown.

27
1G_EnsSci/Evaluations/DS_2025-11-26/sujet.tex Normal file
View File

@@ -0,0 +1,27 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
% Title Page
\title{DS2}
\tribe{1G EnsSci}
\date{26 novembre 2025}
\duree{1h}
% Tags: proportions, suite
\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
\xsimsetup{collect}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

14
1G_math/07_Produit_Scalaire_-_projete_orthogonal/1B.tex
View File

@@ -1,14 +0,0 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Produit Scalaire - projeté orthogonal - Cours}
\date{novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\end{document}

BIN
1G_math/07_Produit_Scalaire_-_projete_orthogonal/1B_projete_orthogonal.pdf Normal file
View File

Binary file not shown.

269
1G_math/07_Produit_Scalaire_-_projete_orthogonal/1B_projete_orthogonal.tex Normal file
View File

@@ -0,0 +1,269 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{tkz-euclide}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Produit Scalaire - projeté orthogonal - Cours}
\date{novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Projeté orthogonal}
\begin{definition}[Projeté orthogonal]
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Soit une droite $(d)$ et un point $M$.
Le \textbf{projeté orthogonal} de $M$ sur $(d)$ est le point $H$ de la droite $(d)$ tel que $(MH)$ est perpendiculaire à $(d)$.
\bigskip
On dit aussi que $H$ est le pied de la hauteur issue de $M$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,rotate=15]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(5,0){B}
\tkzDefPoint(3,3){M}
\tkzDefPointBy[projection=onto A--B](M) \tkzGetPoint{H}
\tkzDrawLine[add=0.2 and 0.2](A,B)
\tkzDrawSegment[dashed](M,H)
\tkzMarkRightAngle[size=0.3](M,H,B)
\tkzDrawPoints(M,H)
\tkzLabelPoint[above](M){$M$}
\tkzLabelPoint[below](H){$H$}
\tkzLabelLine[below, pos=0.1](A,B){$(d)$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{definition}
\paragraph{Exemples}~
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Placer le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,1){B}
\tkzDefPoint(2,3){M}
\tkzDrawLine[add=0.3 and 0.3](A,B)
\tkzDrawPoints(A,B,M)
\tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above](M){$M$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Placer le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,0){B}
\tkzDefPoint(3,2.5){C}
\tkzDrawLine[add=0.3 and 0.3](A,B)
\tkzDrawSegments(A,C B,C)
\tkzDrawPoints(A,B,C)
\tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above](C){$C$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\afaire{Placer les projetés orthogonaux}
\section{Produit scalaire}
\begin{definition}[Produit scalaire]
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Soient $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs du plan.
On considère trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vect{u} = \vect{AB}$ et $\vect{v} = \vect{AC}$.
On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.
\bigskip
Le \textbf{produit scalaire} de $\vect{u}$ et $\vect{v}$, noté $\vect{u}.\vect{v}$, est le nombre réel défini par :
\begin{itemize}
\item Si $H \in [AB)
\end{itemize}
\[
\vect{u}.\vect{v} = \vect{AB}.\vect{AC}
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,rotate=15]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,0){B}
\tkzDefPoint(3,2.5){C}
\tkzDefPointBy[projection=onto A--B](C) \tkzGetPoint{H}
\tkzDrawSegments[->, very thick](A,B A,C)
\tkzDrawSegment[dashed](C,H)
\tkzDrawSegment[->, thick, color=blue](A,H)
\tkzMarkRightAngle[size=0.3](C,H,B)
\tkzDrawPoints(A,B,C,H)
\tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above](C){$C$}
\tkzLabelPoint[below](H){$H$}
\tkzLabelSegment[above left](A,C){$\vect{v}$}
\tkzLabelSegment[below, pos=0.5](A,B){$\vect{u}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{definition}
\paragraph{Remarques importantes}
\begin{itemize}
\item Le produit scalaire de deux vecteurs est un \textbf{nombre réel} (pas un vecteur).
\item Si $\vect{u} = \vect{0}$ ou $\vect{v} = \vect{0}$, alors $\vect{u}.\vect{v} = 0$.
\item Le produit scalaire peut être positif, négatif ou nul.
\end{itemize}
\paragraph{Cas particuliers}~
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Vecteurs colinéaires de même sens} : $H = C$
$\vect{u}.\vect{v} = ||\vect{u}|| \times ||\vect{v}||$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,0){B}
\tkzDefPoint(2.5,0){C}
\tkzDrawSegments[->, very thick](A,B)
\tkzDrawSegments[->, thick, color=blue](A,C)
\tkzDrawPoints(A,B,C)
\tkzLabelPoint[below](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above](C){$C=H$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \textbf{Vecteurs colinéaires de sens contraires} : $H = C$
$\vect{u}.\vect{v} = -||\vect{u}|| \times ||\vect{v}||$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,0){B}
\tkzDefPoint(-1.5,0){C}
\tkzDrawSegments[->, very thick](A,B)
\tkzDrawSegments[->, thick, color=blue](A,C)
\tkzDrawPoints(A,B,C)
\tkzLabelPoint[below](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above](C){$C=H$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \textbf{Vecteurs orthogonaux} : $H = A$
$\vect{u}.\vect{v} = 0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,0){B}
\tkzDefPoint(0,2.5){C}
\tkzDrawSegments[->, very thick](A,B A,C)
\tkzMarkRightAngle[size=0.3](B,A,C)
\tkzDrawPoints(A,B,C)
\tkzLabelPoint[below left](A){$A=H$}
\tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above](C){$C$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \textbf{Carré scalaire} : $\vect{u}.\vect{u} = ||\vect{u}||^2$
On note aussi $\vect{u}^2 = ||\vect{u}||^2$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,0){B}
\tkzDrawSegments[->, very thick](A,B)
\tkzDrawPoints(A,B)
\tkzLabelPoint[below](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below](B){$B=C=H$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\paragraph{Exemples de calculs}~
Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB = 6$ et $AD = 4$.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(6,0){B}
\tkzDefPoint(6,4){C}
\tkzDefPoint(0,4){D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzMarkRightAngle[size=0.3](D,A,B)
\tkzMarkRightAngle[size=0.3](A,B,C)
\tkzMarkRightAngle[size=0.3](B,C,D)
\tkzMarkRightAngle[size=0.3](C,D,A)
\tkzDrawPoints(A,B,C,D)
\tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above right](C){$C$}
\tkzLabelPoint[above left](D){$D$}
\tkzLabelSegment[below](A,B){$6$}
\tkzLabelSegment[left](A,D){$4$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\columnbreak
Calculer :
\begin{enumerate}
\item $\vect{AB}.\vect{AD}$
\item $\vect{AB}.\vect{AC}$
\item $\vect{DA}.\vect{DC}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\afaire{Calculer les produits scalaires en identifiant le projeté orthogonal}
\end{document}

65
1G_math/07_Produit_Scalaire_-_projete_orthogonal/exercises.tex
View File

@@ -35,6 +35,7 @@
\begin{solution}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Calculs de produits scalaire}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB = 6$ et $AD = 4$. On note $O$ l'intersection des diagonales de ce rectangle.
@@ -54,7 +55,7 @@
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Mesurer une longueur}, step={1}, origin={https://frederic-junier.org}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
\begin{exercise}[subtitle={Mesurer une longueur}, step={1}, origin={frederic-junier.org}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB = 4$ et $BC = 3$. On note $H$ le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AB)$.
\begin{enumerate}
\item Faire un croquis codé de la situation.
@@ -66,7 +67,54 @@
\begin{solution}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Démonter l'orthogonalité}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
\begin{exercise}[subtitle={Travail d'une force}, step={2}, origin={frederic-junier.org}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
Un livreur doit pousser un chariot lourdement chargé depuis le camion de livraison jusqu’à l’entrée d’un magasin. Le parcours inclut une légère montée sur une distance de 30 mètres. Pour maintenir le chariot sur le chemin, le livreur applique une force constante. En raison de la montée, cette force fait un angle de 25° avec la direction de la montée.
\begin{definition}[Travail]
Le travail W d’une force $\vect{F}$ sur un déplacement $\vect{d}$ est donné par la formule :
$$
W = \vect{F}.\vect{d}
$$
Le produit scalaire ici, $\vect{F}.\vect{d}$, représente l’interaction de deux vecteurs et leur contribution mutuelle dans une direction spécifique. Le travail est mesuré en Joules (J), où 1 Joule est équivalent au travail réalisé par une force de 1 Newton agissant sur un objet et le déplaçant de 1 mètre dans la direction de la force.
\end{definition}
\begin{enumerate}
\item Calculer le travail réalisé par le livreur pour pousser le chariot jusqu’à l’entrée du magasin. La force appliquée par le livreur est de 200 Newtons.
\item Si l’angle était de 0°, c’est-à-dire que la force était appliquée dans la même direction que le déplacement, quel aurait été le travail réalisé par le livreur ? Comment cela se compare-t-il au résultat de la première question ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Calculer un angle}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté 8. On place $D$ le milieu de $[AB]$. On admettra que $CD = 4\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la figure
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$?
\item Calculer le produit scalaires suivants
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\vect{AB}.\vect{AC}$
\item $\vect{CA}.\vect{CD}$
\item $\vect{DA}.\vect{DB}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Calculer un produit scalaire avec un angle}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
Calculer le produit scalaire $\vect{u}.\vect{v}$ pour les cas suivants
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $||\vect{u}|| = 5$, $||\vect{v}|| = 3$ et $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{3\pi}{4}$
\item $||\vect{u}|| = 5$, $||\vect{v}|| = 3$ et $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{3\pi}{4}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Démonter l'orthogonalité}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
Dans un carré $ABCD$ de côté 6, on construit $I$ le milieu de $[AB]$, le point $J$ tel que $\vect{AK} = \frac{1}{4} \vect{AD}$ et $\vect{CJ} = \frac{1}{4}\vect{CB}$.
\begin{enumerate}
\item Faire un croquis de la figure.
@@ -78,7 +126,18 @@
\begin{solution}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Format Commercial}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
\begin{exercise}[subtitle={Démonter l'orthogonalité Bis}, step={3}, origin={frederic-junier.org}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
Soit $ABCD$ un carré de côté de longueur $l$ et $M$ et $N$ deux points tels que $\vect{CM} = \frac{1}{2}\vect{BC}$ et $\vect{BN} = \frac{1}{2}\vect{AB}$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Décomposer le vecteur $\vect{DN}$ à l'aide de la relation de Chalses en passant par $A$.
\item Idem pour le vecteur $\vect{AM}$ en passant par $B$.
\item Calculer le produit scalaire de $\vect{DN}.\vect{AM}$ et en déduire que $(DN)$ et $(AM)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Format Commercial}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
Soit $ABCD$ un rectangle de longueur $AD = b$ et de largeur $AB = a$.
On place le point $I$ au milieu du côté $[BC]$. Et on note $M$ l'intersection des droites $(AI)$ et $(DB)$.

22
1G_math/07_Produit_Scalaire_-_projete_orthogonal/index.rst
View File

@@ -6,7 +6,7 @@ Produit Scalaire - projeté orthogonal
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire
:category: 1G_math
:summary: Découverte du produit scalaire avec le projeté othogonal et la formule du cos.
:summary: Découverte du produit scalaire avec le projeté orthogonal et la formule du cos.
Éléments du programme
@@ -35,24 +35,32 @@ Commentaires
Progression
===========
Plan de travail
.. image:: ./plan_de_travail.pdf
:height: 200px
:alt: Plan de travail de la séquence
Étape 1: Découverte notion produit scalaire
-------------------------------------------
Un vecteur représentant un déplacement, plusieurs forces à classer en fonction de leur impact sur le déplacement. On fait deux fois cette manipulation pour arriver à la notion de projeté orthogonale.
Cours: Rappel de la déinition du projeté othogonal et définition du produit scalaire par le projeté othogonal
Cours: Rappel de la définition du projeté orthogonal et définition du produit scalaire par le projeté orthogonal
Exercices où l'on va chercher à trouver un projeté pour calculer le produit scalaire.
Étape 2: Formule du cos
-----------------------
Démonstration de la formule du Cos.
Démonstration de la formule du cosinus.
Exercice d'utilisation de cette formule de façon théorique et dans des problèmes de géométrie.
Exercices d'utilisation de cette formule de façon théorique et dans des problèmes de géométrie.
Cours: formule du cos
Cours: formule du cosinus
Étape 3: Colinéarité, othogonalité et formule D'Al-Kashi
--------------------------------------------------------
Étape 3: Colinéarité, orthogonalité et formule d'Al-Kashi
---------------------------------------------------------
Utilisation du produit scalaire pour caractériser l'orthogonalité et démonstration de la formule d'Al-Kashi.

BIN
1G_math/07_Produit_Scalaire_-_projete_orthogonal/plan_de_travail.pdf
View File

Binary file not shown.

15
1G_math/07_Produit_Scalaire_-_projete_orthogonal/plan_de_travail.tex
View File

@@ -22,12 +22,23 @@
Savoir-faire de la séquence
\begin{itemize}
\item
\item Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.
\item Développement de $||\vect{u} + \vect{v}||^2$, Formule d’Al-Kashi.
\item En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée (en utilisant la projection orthogonale, à l’aide des normes et d’un angle).
\item Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique.
\end{itemize}
\bigskip
\section{}
\section{Produit scalaire et projeté orthogonal}
\listsectionexercises
\section{Formule du cos}
\listsectionexercises
\section{Colinéarité, orthogonalité et formule d'Al-Kashi}
\listsectionexercises