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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Probabilité conditionnelle - Cours}
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\date{octobre 2025}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Notations ensemblestes}
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Soit $E$ un ensemble et $A$ et $B$ deux sous ensemble de $E$.
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/ensembles}
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\end{center}
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\begin{multicols}{3}
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\begin{itemize}[leftmargin=0.2cm]
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\item \textbf{Complémentaire de $A$} contient tous les éléments qui n'ont pas les caractéristiques de $A$.
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/Abar}
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\end{center}
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\item \textbf{Intersection de $A$ et $B$} contient tous les éléments qui ont les caractéristiques de $A$ \textbf{ET} de $B$.
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/inter}
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\end{center}
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\item \textbf{Union de $A$ et $B$} contient tous les éléments qui ont les caractéristiques de $A$ \textbf{OU} de $B$.
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/union}
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\end{center}
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\end{itemize}
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\end{multicols}
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\section{Probabilité et probabilités conditionnelles}
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\begin{definition}[ Probabilités conditionnelles ]
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Soit $A$ et $B$ deux ensembles de l'univers $E$ avec $A$ un ensemble non vide.
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\noindent
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La probabilité de $B$ sachant $A$ est noté $P_A(B)$ et est définie par
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\[
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P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}
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\]
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\end{definition}
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\begin{propriete}[Formule des effectifs]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Dans le cas où l'univers $E$ est fini. On peut réécrire la formule précédente
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Probabilités de l'évènement $B$ sachant $A$
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\[
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P_A(B) = \frac{\mbox{Effectif des éléments qui sont dans $A$ et $B$}}{\mbox{Effectifs des éléments qui sont dans $A$}} = \frac{\# A\cap B}{\#A}
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/condi_A}
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\end{minipage}
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\end{propriete}
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\vspace{-0.5cm}
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\paragraph{Exemple}~\\
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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On note
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\[
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A = \left\{ \mbox{Homme} \right\} \qquad
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\]
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\[
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B = \left\{ \mbox{Employé} \right\} \qquad
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\]
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|
On choisit au hasard une personne de cette entreprise.
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
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\hline
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& Homme & Femme & Total \\
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\hline
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Employé & 10 & 15 & 25 \\
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\hline
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Vacataire & 14 & 17 & 31 \\
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\hline
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Total & 24 & 32 & 56 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\begin{multicols}{2}
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\[
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P(A) = \cdots
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\]
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Interprétation:\dotfill
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\[
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P_A(B) = \cdots
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\]
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Interprétation:\dotfill
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\end{multicols}
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\afaire{}
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\end{document}
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