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24 KiB
TeX
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\begin{exercise}[subtitle={Mobilités}, step={1}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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On a réalisé une enquête dans un lycée où il y a \np{1200} élèves.
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\begin{enumerate}
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\item Reproduire et compléter le tableau ci-contre avec les informations suivantes.
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\begin{itemize}[leftmargin=*]
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\item 42.5\% des élèves habitent en centre-ville.
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\item 50\% des élèves utilisent les transports en commun et parmi eux, 75\% habitent en périphérie.
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\item 180 utilisent la voiture dont 30 habitent en centre-ville.
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\item 25\% des élèves viennent à pied.
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\item Parmi les cyclistes, il a trois fois plus d'élèves qui habitent en périphérie qu'en centre-ville.
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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& Centre-ville & Périphérie & Total \\
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\hline
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Voiture & & & \\
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\hline
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Vélo & & & \\
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\hline
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À pied & & & \\
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\hline
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Autre & & & \\
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\hline
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Total & & & \np{1200} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\item Avec les notations suivantes, décrire avec une phrase puis calculer l'effectif des ensembles
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\[
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A = \left\{ \mbox{habite en centre-ville} \right\} \qquad
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|
B = \left\{ \mbox{utilise de vélo} \right\}
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\]
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\[
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A \cap B \qquad A \cup B \qquad \overline{A} \qquad \overline{A}\cap B \qquad \overline{ A \cup B}
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Tableau complété :
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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& Centre-ville & Périphérie & Total \\
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\hline
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Voiture & 30 & 150 & 180 \\
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\hline
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Vélo & 30 & 90 & 120 \\
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\hline
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À pied & 300 & 0 & 300 \\
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\hline
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Autre & 150 & 450 & 600 \\
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\hline
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Total & 510 & 690 & \np{1200} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\textit{Explications :}
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\begin{itemize}
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\item Total centre-ville : $1200 \times 0.425 = 510$
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\item Total périphérie : $1200 - 510 = 690$
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\item Autre (transports en commun) : $1200 \times 0.50 = 600$ dont $600 \times 0.75 = 450$ en périphérie et $150$ en centre-ville
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\item Voiture : $180$ dont $30$ en centre-ville et $150$ en périphérie
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\item À pied : $1200 \times 0.25 = 300$
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\item Vélo : on note $x$ le nombre de cyclistes en centre-ville, alors $3x$ en périphérie
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\item Total : $180 + 4x + 300 + 600 = 1200 \Rightarrow x = 30$
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\item Pour à pied : centre-ville = $510 - 30 - 30 - 150 = 300$ et périphérie = $0$
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\end{itemize}
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\item Avec $A = \left\{ \mbox{habite en centre-ville} \right\}$ et $B = \left\{ \mbox{utilise le vélo} \right\}$
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\begin{itemize}
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\item $A \cap B$ : élèves qui habitent en centre-ville ET utilisent le vélo $\Rightarrow$ effectif = 30
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\item $A \cup B$ : élèves qui habitent en centre-ville OU utilisent le vélo $\Rightarrow$ effectif = $510 + 120 - 30 = 600$
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\item $\overline{A}$ : élèves qui n'habitent pas en centre-ville (habitent en périphérie) $\Rightarrow$ effectif = 690
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\item $\overline{A} \cap B$ : élèves qui habitent en périphérie ET utilisent le vélo $\Rightarrow$ effectif = 90
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\item $\overline{A \cup B}$ : élèves qui n'habitent pas en centre-ville ET n'utilisent pas le vélo $\Rightarrow$ effectif = $690 - 90 = 600$
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Orientation}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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On a fait une étude sur l'orientation des élèves en filière technologique et on a rassemblé les résultats dans le tableau ci-dessous
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{4}{c|}|c|}
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\hline
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& STI2D & STMG & ST2S & total \\
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\hline
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Garçon & 11 & 10 & 22 & 43 \\
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\hline
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Fille & 5 & 20 & 10 & 35 \\
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\hline
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\hline
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|
total & 16 & 30 & 32 & 78 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On note les ensembles suivants :
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\begin{multicols}{3}
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\begin{itemize}
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\item G = "L'élève est un garçon"
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\item F = "L'élève est une fille"
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\item D = "Élève de STI2D"
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\item M = "Élève de STMG"
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\item S = "Élève de ST2S"
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\end{itemize}
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\end{multicols}
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Calculer les quantités suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $P(G \cap S)$
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\item $P_G(S)$
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\item $P(F \cap D)$
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\item $P_D(F)$
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\item $P(G \cup M)$
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\item $P_F(M)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $P(G \cap S) = \dfrac{22}{78} = \dfrac{11}{39}$
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\item $P_G(S) = \dfrac{22}{43}$
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\item $P(F \cap D) = \dfrac{5}{78}$
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\item $P_D(F) = \dfrac{5}{16}$
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\item $P(G \cup M) = \dfrac{43 + 30 - 10}{78} = \dfrac{63}{78} = \dfrac{21}{26}$
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\item $P_F(M) = \dfrac{20}{35} = \dfrac{4}{7}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Impression de livres}, step={2}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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L'étude de la répartition des livres produits dans une imprimerie donne les résultats suivants
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\begin{itemize}
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\item 60\% sont des romans et un quart d'entre eux sont au format de non poche
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\item 25\% sont des essais et un cinquième d'entre eux sont au format poche
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\item le reste est constitué de livres de poésie. Et parmi ceux-là, deux tiers est au format poche.
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\end{itemize}
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\begin{enumerate}
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|
\item Faire un tableau croisé des effectifs si l'on suppose que l'imprimerie fabrique au total 100 livres.
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\item On choisit un livre au hasard, on note les évènements suivants
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\[
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|
P = \left\{ \mbox{le livre est au format poche} \right\} \qquad E = \left\{ \mbox{le livre est un essai} \right\}
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|
\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la probabilité des évènements $E$ et $P$.
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\item Décrire avec une phrase puis calculer la probabilité de l'évènement $E\cap P$
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\item Décrire avec une phrase puis calculer la probabilité de l'évènement $\overline{E}$
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\end{enumerate}
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\item Calculer la quantité $P_E(P)$ et interpréter le résultat.
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\item Traduire en termes de probabilité la phrase "20\% des essais sont au format poche".
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Tableau croisé pour 100 livres :
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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& Poche & Non poche & Total \\
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\hline
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Romans & 45 & 15 & 60 \\
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\hline
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Essais & 5 & 20 & 25 \\
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\hline
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Poésie & 10 & 5 & 15 \\
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\hline
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Total & 60 & 40 & 100 \\
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\hline
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|
\end{tabular}
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\end{center}
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\textit{Détails :}
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\begin{itemize}
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\item Romans : $60$ dont $60 \times \frac{1}{4} = 15$ non poche et $45$ poche
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\item Essais : $25$ dont $25 \times \frac{1}{5} = 5$ poche et $20$ non poche
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|
\item Poésie : $100 - 60 - 25 = 15$ dont $15 \times \frac{2}{3} = 10$ poche et $5$ non poche
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\end{itemize}
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|
\item
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\begin{enumerate}
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\item $P(E) = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ et $P(P) = \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}$
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\item $E \cap P$ : le livre est un essai ET au format poche $\Rightarrow P(E \cap P) = \dfrac{5}{100} = \dfrac{1}{20}$
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|
\item $\overline{E}$ : le livre n'est pas un essai $\Rightarrow P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
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\end{enumerate}
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|
\item $P_E(P) = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5}$
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Interprétation : Parmi les essais, $\dfrac{1}{5}$ (soit 20\%) sont au format poche.
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\item $P_E(P) = 0.20$ (probabilité qu'un essai soit au format poche)
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Villes et voitures}, step={2}, origin={Le livre scolaire}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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Dans une ville A, 30 \% des habitants n'ont pas de voiture, contre 10 \% dans la ville B voisine et 16 \% dans la ville C. Or les habitants de A représentent 12 \% de cette agglomération, les habitants de la ville B en représentent 38 \% et ceux de C en représentent 50 \%.
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On interroge un habitant de l'agglomération au hasard. Quelle est la probabilité qu'il vienne de la ville A et qu'il n'ait pas de voiture ? Même question pour les habitants de la ville B et C.
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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On note $A$, $B$ et $C$ les événements "l'habitant vient de la ville A (resp. B, C)" et $V$ l'événement "l'habitant n'a pas de voiture".
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\begin{itemize}
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\item $P(A \cap V) = P(A) \times P_A(V) = 0.12 \times 0.30 = 0.036$
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La probabilité qu'un habitant vienne de la ville A et n'ait pas de voiture est $0.036$ soit $3.6\%$.
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\item $P(B \cap V) = P(B) \times P_B(V) = 0.38 \times 0.10 = 0.038$
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La probabilité qu'un habitant vienne de la ville B et n'ait pas de voiture est $0.038$ soit $3.8\%$.
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\item $P(C \cap V) = P(C) \times P_C(V) = 0.50 \times 0.16 = 0.080$
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|
La probabilité qu'un habitant vienne de la ville C et n'ait pas de voiture est $0.080$ soit $8\%$.
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Court de tennis}, step={3}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles}, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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Un club de tennis a effectué une étude statistique de l'occupation de ses terrains. Les résultats sont les suivants
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\begin{itemize}
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\item Lorsque l'heure est dite creuse, 20\% des terrains sont occupés.
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\item Lorsque l'heure est dite pleine, 90\% des terrains sont occupés.
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\end{itemize}
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|
Le club avait décidé que 70\% des heures d'ouvertures seraient pleines.
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\begin{enumerate}
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\item Les terrains sont ouverts tous les jours de la semaine de 11h à 21h. Combien d'heures le club propose-t-il d'heures d'ouverture sur une semaine?
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\item Faire le tableau des effectifs croisé correspondant à la situation.
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\end{enumerate}
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Dans la suite, on note $C = \left\{ \mbox{heure creuse} \right\}$ et $O = \left\{ \mbox{terrain occupé} \right\}$
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item Calculer puis interpréter $P(C)$ et $P(O)$
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\item Calculer puis interpréter $P(C\cap O)$ et $P_O(C)$
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\item Dans le but d'inciter ses clients de venir aux heures creuses. Le club a établi un tarif préférentiel. Une heure pleine coûte 10\euro tandis qu'une heure creuse coûte 6\euro. \\
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|
Calculer la somme que peut espérer rapporter au club un terrain en une semaine.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Nombre d'heures d'ouverture : $10$ heures par jour $\times$ $7$ jours $= 70$ heures par semaine
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\item Tableau croisé (pour un terrain sur une semaine) :
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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& Heures creuses & Heures pleines & Total \\
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\hline
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Terrain occupé & 4.2 & 44.1 & 48.3 \\
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\hline
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Terrain libre & 16.8 & 4.9 & 21.7 \\
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\hline
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Total & 21 & 49 & 70 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\textit{Détails :}
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\begin{itemize}
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\item Heures pleines : $70 \times 0.70 = 49$ heures
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\item Heures creuses : $70 \times 0.30 = 21$ heures
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\item Terrain occupé en heures pleines : $49 \times 0.90 = 44.1$ heures
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\item Terrain occupé en heures creuses : $21 \times 0.20 = 4.2$ heures
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\end{itemize}
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\item $P(C) = \dfrac{21}{70} = \dfrac{3}{10} = 0.30$
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Interprétation : La probabilité qu'une heure choisie au hasard soit une heure creuse est de $30\%$.
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$P(O) = \dfrac{48.3}{70} = \dfrac{483}{700} = 0.69$
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|
Interprétation : La probabilité qu'un terrain choisi à une heure au hasard soit occupé est de $69\%$.
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\item $P(C \cap O) = \dfrac{4.2}{70} = \dfrac{42}{700} = \dfrac{3}{50} = 0.06$
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Interprétation : La probabilité qu'une heure soit creuse ET que le terrain soit occupé est de $6\%$.
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$P_O(C) = \dfrac{4.2}{48.3} = \dfrac{42}{483} = \dfrac{14}{161} \approx 0.087$
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Interprétation : Sachant que le terrain est occupé, la probabilité que ce soit une heure creuse est d'environ $8.7\%$.
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\item Somme espérée par terrain pour une semaine :
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\begin{align*}
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E &= 44.1 \times 10 + 4.2 \times 6 \\
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&= 441 + 25.2 \\
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&= 466.2 \text{ euros}
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|
\end{align*}
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|
Un terrain peut rapporter en moyenne $466.20$\euro{} par semaine.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Dopage}, step={3}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles}, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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|
Lors d'un contrôle anti-dopage, les sportifs peuvent être déclarés positifs (qu'ils le soient ou pas) ou négatifs (qu'ils le soient ou pas). Les études pharmaceutiques du test anti-dopage ont montré que
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\begin{itemize}
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\item 95\% des sportifs dopés sont déclarés positifs.
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|
\item 10\% des sportifs non dopés sont déclarés positifs.
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|
\end{itemize}
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|
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item Que signifie dans cette situation que "le comité a fait une erreur"? Quels sont les deux erreurs possibles?
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|
\end{enumerate}
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|
On fait un test sur 50 personnes. On ne connait pas le nombre de sportifs dopés. On voudrait le déterminer, on le note alors $n$.
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|
\begin{enumerate}
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|
\setcounter{enumi}{1}
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|
\item Établir un tableau croisé des effectifs qui correspond à la situation.
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|
\item Montrer que la probabilité qu'un sportif ayant été déclaré positif soit réellement dopé est de \[P_{\mbox{\tiny{Positif}}}(\mbox{Dopé}) = \dfrac{0.95n}{5+0.85n}\]
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|
\item Résoudre l'équation $P_{\mbox{\tiny{Positif}}}(\mbox{Dopé}) > 0.95$ puis interpréter le résultat.
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|
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item "Le comité a fait une erreur" signifie que le test s'est trompé, c'est-à-dire :
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\begin{itemize}
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\item Soit un sportif dopé est déclaré négatif (faux négatif)
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|
\item Soit un sportif non dopé est déclaré positif (faux positif)
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\end{itemize}
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\item Tableau croisé pour 50 personnes avec $n$ sportifs dopés :
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
|
|
& Dopé & Non dopé & Total \\
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|
\hline
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Positif & $0.95n$ & $0.1(50-n)$ & $0.85n + 5$ \\
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|
\hline
|
|
Négatif & $0.05n$ & $0.9(50-n)$ & $45 - 0.85n$ \\
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|
\hline
|
|
Total & $n$ & $50-n$ & $50$ \\
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|
\hline
|
|
\end{tabular}
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|
\end{center}
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|
\item On cherche $P_{\mbox{\tiny{Positif}}}(\mbox{Dopé})$ :
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\begin{align*}
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P_{\mbox{\tiny{Positif}}}(\mbox{Dopé}) &= \dfrac{\mbox{nombre de dopés testés positif}}{\mbox{nombre total de positifs}} \\
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|
&= \dfrac{0.95n}{0.85n + 5}
|
|
\end{align*}
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|
|
|
\item Résolvons $P_{\mbox{\tiny{Positif}}}(\mbox{Dopé}) > 0.95$ :
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|
\begin{align*}
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|
\dfrac{0.95n}{0.85n + 5} &> 0.95 \\
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0.95n &> 0.95(0.85n + 5) \\
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0.95n &> 0.8075n + 4.75 \\
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|
0.1425n &> 4.75 \\
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|
n &> \dfrac{4.75}{0.1425} \\
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|
n &> 33.33...
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|
\end{align*}
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|
Donc $n \geq 34$.
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Interprétation : Pour que la probabilité qu'un sportif déclaré positif soit réellement dopé soit supérieure à $95\%$, il faut qu'au moins $34$ sportifs sur $50$ soient dopés, soit plus de $68\%$ de dopés dans la population testée. Cela montre que même avec un test très performant, si la prévalence du dopage est faible, beaucoup de positifs seront des faux positifs.
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|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Tests Covid}, step={3}, origin={Ma tête}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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En 2020, on pouvait lire l'article suivant dans le monde.
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Dans la suite on note $P=$"test positif" et $I=$"patient infecté".
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\begin{enumerate}
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% sensibilité = 70% et spécificité = 95%
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\item Chercher dans l'article les valeurs de la sensibilité et de la spécificité du test Covid. Puis traduire ces valeurs en terme de probabilités.
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\item On se place dans le premier cas où 1\% de la population est infecté.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item On étudie une population de 1000 individus. Compléter le tableau suivant
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\item Calculer la probabilité que parmi les testés positifs, le patient soit réellement infecté.
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\item Calculer la probabilité que parmi les testés négatif, le patient soit infecté.
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\end{enumerate}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
|
\begin{tabular}{|*{3}{c|}c|}
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\hline
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& infecté & non infecté & total \\
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\hline
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Test positif & & & \\
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\hline
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Test négatif & & & \\
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\hline
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total & & & 1000 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\item Mêmes questions pour le cas où 10\% de la population est infectée.
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\item Mêmes questions pour le cas où 30\% de la population est infectée.
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\item Que pensez-vous de ces tests?
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\end{enumerate}
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\includegraphics[scale=0.6, angle=90]{./fig/resultat_test}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item D'après l'article :
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\begin{itemize}
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\item Sensibilité : $70\%$ $\Rightarrow P_I(P) = 0.70$ (probabilité d'être testé positif sachant qu'on est infecté)
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\item Spécificité : $95\%$ $\Rightarrow P_{\overline{I}}(\overline{P}) = 0.95$ (probabilité d'être testé négatif sachant qu'on n'est pas infecté)
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On en déduit : $P_{\overline{I}}(P) = 1 - 0.95 = 0.05$ (probabilité d'être testé positif sachant qu'on n'est pas infecté)
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\end{itemize}
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\item \textbf{Cas 1 :} $1\%$ de la population infectée (1000 individus)
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\begin{enumerate}
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\item Tableau complété :
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{3}{c|}c|}
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\hline
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& infecté & non infecté & total \\
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\hline
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Test positif & 7 & 49.5 & 56.5 \\
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\hline
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Test négatif & 3 & 940.5 & 943.5 \\
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\hline
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total & 10 & 990 & 1000 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\textit{Calculs :}
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\begin{itemize}
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\item Infectés : $1000 \times 0.01 = 10$
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\item Non infectés : $1000 - 10 = 990$
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\item Infectés testés positifs : $10 \times 0.70 = 7$
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\item Infectés testés négatifs : $10 \times 0.30 = 3$
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\item Non infectés testés positifs : $990 \times 0.05 = 49.5$
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\item Non infectés testés négatifs : $990 \times 0.95 = 940.5$
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\end{itemize}
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\item $P_P(I) = \dfrac{7}{56.5} \approx 0.124$ soit environ $12.4\%$
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Seulement 12\% des personnes testées positives sont réellement infectées !
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\item $P_{\overline{P}}(I) = \dfrac{3}{943.5} \approx 0.003$ soit environ $0.3\%$
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Un test négatif est très fiable : la personne a très peu de chances d'être infectée.
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Cas 2 :} $10\%$ de la population infectée (1000 individus)
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{3}{c|}c|}
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\hline
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& infecté & non infecté & total \\
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\hline
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Test positif & 70 & 45 & 115 \\
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\hline
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Test négatif & 30 & 855 & 885 \\
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\hline
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total & 100 & 900 & 1000 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{itemize}
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\item $P_P(I) = \dfrac{70}{115} \approx 0.609$ soit environ $60.9\%$
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\item $P_{\overline{P}}(I) = \dfrac{30}{885} \approx 0.034$ soit environ $3.4\%$
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\end{itemize}
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\item \textbf{Cas 3 :} $30\%$ de la population infectée (1000 individus)
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{3}{c|}c|}
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\hline
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& infecté & non infecté & total \\
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\hline
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Test positif & 210 & 35 & 245 \\
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\hline
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Test négatif & 90 & 665 & 755 \\
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\hline
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total & 300 & 700 & 1000 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{itemize}
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\item $P_P(I) = \dfrac{210}{245} \approx 0.857$ soit environ $85.7\%$
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\item $P_{\overline{P}}(I) = \dfrac{90}{755} \approx 0.119$ soit environ $11.9\%$
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\end{itemize}
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\item \textbf{Conclusion :} Ces tests montrent que même avec un test moyennement performant (70\% de sensibilité et 95\% de spécificité), la fiabilité d'un résultat positif dépend fortement de la prévalence de la maladie dans la population :
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\begin{itemize}
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\item Avec 1\% d'infectés, un test positif n'a que 12.4\% de chances de correspondre à une vraie infection
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\item Avec 10\% d'infectés, ce taux monte à 60.9\%
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\item Avec 30\% d'infectés, ce taux atteint 85.7\%
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\end{itemize}
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Cela illustre l'importance du contexte épidémiologique dans l'interprétation des résultats de tests. Avec une faible prévalence, un test positif est très peu fiable. En revanche, un test négatif reste performant pour écarter l'infection : le risque d'être infecté malgré un test négatif est faible (0.3\% à 1\% de prévalence, 3.4\% à 10\%, et 11.9\% à 30\%).
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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