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TeX
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, origin={}, topics={Dérivation}, tags={ calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, suite }, points=4]
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la valeur de $P_F(E)$?
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\begin{tikzpicture}[xscale=1.5, grow=down]
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\node {.}
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child {node {$F$}
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child {node {$E$}
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edge from parent
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node[below] {}
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}
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child {node {$\overline{E}$}
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edge from parent
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node[right] {0.2}
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}
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edge from parent
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|
node[below] {}
|
|
}
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|
child[missing] {}
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child { node {$\overline{F}$}
|
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child {node {$E$}
|
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edge from parent
|
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node[left] {0.9}
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|
}
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|
child {node {$\overline{E}$}
|
|
edge from parent
|
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node[above] {}
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}
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edge from parent
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node[right] {0.7}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\item Développer l'expression $$3(2x + 3)(4 - x)$$
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\vspace{1cm}
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\item Convertir en heure et minutes 2,45h
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\vspace{2cm}
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\item Une quantité augmente de 30\%.
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Quel taux d'évolution doit-on appliquer pour retrouver la valeur de départ?
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\vspace{2cm}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={EMPCS recyclé}, step={1}, origin={bac stmg métropole - 2019}, topics={Suites}, tags={ calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, suite }, points=6]
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On s'intéresse au recyclage des emballages ménagers en plastique issus de la collecte sélective (EMPCS).
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Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la masse d'EMPCS recyclés entre 2014 et 2016. Cette masse
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est exprimée en millier de tonnes et arrondie au millier de tonnes.
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\begin{center}
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\begin{tabular}[]{|c|*{3}{p{3cm}|}}
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\hline
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Année& 2014& 2015& 2016\\\hline
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Masse d'EMPCS recyclés& 256& 266& 282\\\hline
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\multicolumn{4}{r}{\footnotesize \emph{Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr, consulté le 21/01/2019}}
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le taux d'évolution global de la masse d'EMPCS recyclés entre 2014 et 2016. Vous donnerez le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
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\item En déduire le taux d'évolution annuel moyen de la masse d'EMPCS recyclés entre 2014 et 2016. Vous donnerez le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
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\end{enumerate}
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On fait l'hypothèse qu'à partir de 2016, le taux d'évolution annuel de la masse d'EMPCS recyclés
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est constant et égal à 4,2\,\%.
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La masse d'EMPCS recyclés au cours de l'année $(2016 + n)$, exprimée en millier de tonnes, est modélisée par le terme de rang $n$ d'une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 282$.
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\begin{enumerate}[resume]
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\item Calculer la valeur de $u_1$ et de $u_2$ et interpréter le résultat.
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\item Quelle est la nature de la suite? Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier $n$.
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\item En déduire une estimation de la masse d'EMPCS recyclés en 2025.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Rouleaux de tissus}, step={1}, origin={bac stmg Polynésie - 2018}, topics={Dérivation}, tags={ calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, suite }, points=10]
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Une entreprise fabrique chaque jour des rouleaux de tissu en coton. La production quotidienne varie entre 1 et 10 kilomètres de tissu. On note $x$ la production de tissu en kilomètres.
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Le coût total de production, exprimé en euros, de $x$ kilomètres de tissu est donné par la fonction $C$ définie pour $x$ appartenant à [1~;~10] par :
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\[C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750.\]
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\noindent
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\textbf{Partie A : lectures graphiques}
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On appelle coût moyen de production la fonction $C_m$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par: $C_m = \dfrac{C(x)}{x}$.
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La représentation graphique de la fonction $C_m$ est donnée ci-dessous.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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xmin=0, xmax=12,
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ymin=0, ymax=1250,
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width=12cm,
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height=8cm,
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axis lines=left,
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xlabel={$x$},
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ylabel={$C_m(x)$},
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xlabel style={at={(1,0)}, anchor=west},
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grid=both,
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grid style={dashed, gray},
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major grid style={dashed},
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xtick={0,1,...,12},
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ytick={0,100,...,1200},
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samples=2000,
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domain=1:10,
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thick,
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axis line style={-stealth}
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]
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\addplot[blue, very thick] {x^2*15 - 120*x + 500 + 750/x};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Donner par lecture graphique une valeur approchée de $C_m(7)$.
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\item À l'aide de la représentation graphique, donner le tableau de variations de $C_m$ sur [1~;~10].
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\item Déterminer par lecture graphique combien de kilomètres de tissu l'entreprise doit fabriquer pour que le coût moyen de production soit minimal.
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\end{enumerate}
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\noindent
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\textbf{Partie B : étude du bénéfice}
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\medskip
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On suppose que l'entreprise vend chaque jour sa production journalière.
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Le prix de vente d'un kilomètre de tissu est de 680~\euro.
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On rappelle que le nombre de kilomètres de tissu $x$ fabriqués varie chaque jour entre 1 et 10.
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On note $R(x)$ la recette, exprimée en euros, correspondant à la vente de $x$ kilomètres de tissu.
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On note $B(x)$ le bénéfice, exprimé en euros, réalisé par l'entreprise pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Combien est vendu 5 kilomètres de tissu?
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\item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
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\end{enumerate}
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\item Justifier que l'expression de $B(x)$ en fonction de $x$ est: $B(x) = - 15x^3 + 120x^2 + 180x - 750$.
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\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [1~;~10], calculer $B'(x)$.
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|
\item
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $x = 6$ et $x = \frac{-2}{3}$ sont des racines de $B'(x)$.
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\item Factoriser l'expression de $B'(x)$.
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\item En déduire le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle [1~;~10].
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\end{enumerate}
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\item En utilisant la question précédente, donner le tableau de variations complet de la fonction $B$ sur l'intervalle [1~;~10].
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\item Déterminer le nombre de kilomètres de tissu que l'entreprise doit produire et vendre chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut ce bénéfice maximal ?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\textbf{Exercice 1 : Automatismes}
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\begin{enumerate}
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\item Sur l'arbre, on lit que $P_F(\overline{E}) = 0{,}2$.
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Or $P_F(E) + P_F(\overline{E}) = 1$, donc $P_F(E) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.
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\item On développe en utilisant la double distributivité :
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\begin{align*}
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3(2x + 3)(4 - x) &= 3[(2x + 3) \times 4 - (2x + 3) \times x] \\
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&= 3[8x + 12 - 2x^2 - 3x] \\
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&= 3[-2x^2 + 5x + 12] \\
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&= -6x^2 + 15x + 36
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\end{align*}
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\item $2{,}45$h signifie 2 heures et $0{,}45$ heure.
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Pour convertir $0{,}45$h en minutes : $0{,}45 \times 60 = 27$ minutes.
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Donc $2{,}45$h $= 2$h$27$min.
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\item Une augmentation de 30\% correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{30}{100} = 1{,}3$.
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Pour retrouver la valeur de départ, on divise par $1{,}3$, ce qui correspond à multiplier par $\frac{1}{1{,}3} \approx 0{,}769$.
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Le taux d'évolution est donc $0{,}769 - 1 = -0{,}231$, soit une diminution d'environ $23{,}1$\%.
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\end{enumerate}
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\textbf{Exercice 2 : EMPCS recyclé}
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\begin{enumerate}
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\item Le taux d'évolution global entre 2014 et 2016 est :
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$$t = \frac{282 - 256}{256} = \frac{26}{256} \approx 0{,}1016$$
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Le taux d'évolution global est d'environ $10{,}2$\%.
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\item Le taux d'évolution annuel moyen $t_m$ vérifie $(1 + t_m)^2 = 1 + t$.
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Donc $1 + t_m = \sqrt{1 + t} = \sqrt{1{,}1016} \approx 1{,}0496$.
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Ainsi $t_m \approx 0{,}0496$, soit environ $5{,}0$\%.
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\item Avec un taux d'évolution constant de $4{,}2$\%, on a :
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\begin{align*}
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u_1 &= u_0 \times 1{,}042 = 282 \times 1{,}042 = 293{,}844 \\
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u_2 &= u_1 \times 1{,}042 = 293{,}844 \times 1{,}042 \approx 306{,}185
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\end{align*}
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Interprétation : en 2017, environ 294 milliers de tonnes d'EMPCS seront recyclés, et en 2018, environ 306 milliers de tonnes.
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\item La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}042$ et de premier terme $u_0 = 282$.
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Son terme général est donc : $u_n = 282 \times 1{,}042^n$.
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\item L'année 2025 correspond à $n = 2025 - 2016 = 9$.
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Donc $u_9 = 282 \times 1{,}042^9 \approx 282 \times 1{,}456 \approx 410{,}6$.
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En 2025, environ 411 milliers de tonnes d'EMPCS seront recyclés.
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\end{enumerate}
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\textbf{Exercice 3 : Rouleaux de tissus}
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\textbf{Partie A : lectures graphiques}
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\begin{enumerate}
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\item Par lecture graphique, $C_m(7) \approx 500$ euros.
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\item Tableau de variations de $C_m$ sur $[1~;~10]$ :
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $C_m(x)$/2}{$1$, $5$, $10$}
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\tkzTabVar{+/, -/, +/}
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|
\end{tikzpicture}
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\end{center}
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La fonction $C_m$ est décroissante sur $[1~;~5]$ puis croissante sur $[5~;~10]$.
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\item Le coût moyen est minimal pour $x = 5$ kilomètres de tissu.
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\end{enumerate}
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\textbf{Partie B : étude du bénéfice}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item 5 kilomètres de tissu sont vendus $5 \times 680 = 3\,400$ euros.
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\item La recette pour $x$ kilomètres est $R(x) = 680x$.
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\end{enumerate}
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\item Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût :
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\begin{align*}
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B(x) &= R(x) - C(x) \\
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&= 680x - (15x^3 - 120x^2 + 500x + 750) \\
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&= 680x - 15x^3 + 120x^2 - 500x - 750 \\
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&= -15x^3 + 120x^2 + 180x - 750
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\end{align*}
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\item $B(x) = -15x^3 + 120x^2 + 180x - 750$
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Donc $B'(x) = -15 \times 3x^2 + 120 \times 2x + 180 = -45x^2 + 240x + 180$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Vérifions que $x = 6$ est racine de $B'(x)$ :
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$$B'(6) = -45 \times 36 + 240 \times 6 + 180 = -1\,620 + 1\,440 + 180 = 0$$
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|
Vérifions que $x = -\frac{2}{3}$ est racine de $B'(x)$ :
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$$B'\left(-\frac{2}{3}\right) = -45 \times \frac{4}{9} + 240 \times \left(-\frac{2}{3}\right) + 180 = -20 - 160 + 180 = 0$$
|
|
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|
\item $B'(x) = -45x^2 + 240x + 180 = -45\left(x^2 - \frac{240}{45}x - \frac{180}{45}\right) = -45(x^2 - \frac{16}{3}x - 4)$
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Comme $x = 6$ et $x = -\frac{2}{3}$ sont les racines, on factorise :
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$$B'(x) = -45\left(x - 6\right)\left(x + \frac{2}{3}\right)$$
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\item Sur $[1~;~10]$, on a $x - 6 < 0$ pour $x \in [1~;~6[$ et $x - 6 > 0$ pour $x \in ]6~;~10]$.
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De plus, $x + \frac{2}{3} > 0$ sur $[1~;~10]$.
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Donc $B'(x) = -45(x - 6)(x + \frac{2}{3})$ est du signe de $-(x - 6)$ :
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\begin{itemize}
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\item $B'(x) > 0$ sur $[1~;~6[$
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\item $B'(6) = 0$
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\item $B'(x) < 0$ sur $]6~;~10]$
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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|
\item Tableau de variations de $B$ sur $[1~;~10]$ :
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, Signe de $B'(x)$/1, $B(x)$/2}{$1$, $6$, $10$}
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
|
\tkzTabVar{-/$B(1)$, +/$B(6)$, -/$B(10)$}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
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\item Le bénéfice est maximal pour $x = 6$ kilomètres de tissu.
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Le bénéfice maximal est :
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\begin{align*}
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B(6) &= -15 \times 6^3 + 120 \times 6^2 + 180 \times 6 - 750 \\
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&= -15 \times 216 + 120 \times 36 + 1\,080 - 750 \\
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&= -3\,240 + 4\,320 + 1\,080 - 750 \\
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&= 1\,410 \text{ euros}
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\end{align*}
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\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
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