434 lines
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\begin{exercise}[subtitle={Programmes de calculs}, step={1}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\searchMode}]
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Voici 2 programmes de calculs.
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\medskip
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\setlength\fboxsep{10pt}
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\Ovalbox{%
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\textbf{Programme A:} \\
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Choisir un nombre \\
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Multiplier par 4 \\
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Soustraire 1 \\
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Ajouter le nombre de départ \\
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Soustraire 2
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\end{minipage}
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}
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\hfill
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\Ovalbox{%
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\textbf{Programme B:} \\
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Choisir un nombre \\
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Multiplier par 5 \\
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Enlever 3
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\end{minipage}
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}
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\medskip
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Bob pense "\textit{Ces 2 programmes donnent toujours le même résultat.}".
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Qu'en pensez-vous ?
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Pour vérifier si Bob a raison, on va traduire chaque programme par une expression littérale en notant $x$ le nombre de départ.
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\textbf{Programme A :}
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\begin{itemize}
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\item Choisir un nombre : $x$
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\item Multiplier par 4 : $4x$
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\item Soustraire 1 : $4x - 1$
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\item Ajouter le nombre de départ : $4x - 1 + x$
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\item Soustraire 2 : $4x - 1 + x - 2$
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\end{itemize}
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On réduit l'expression : $4x - 1 + x - 2 = 5x - 3$
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\textbf{Programme B :}
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\begin{itemize}
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\item Choisir un nombre : $x$
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\item Multiplier par 5 : $5x$
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\item Enlever 3 : $5x - 3$
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\end{itemize}
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Les deux programmes donnent bien la même expression finale : $5x - 3$.
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\textbf{Conclusion :} Bob a raison, ces deux programmes donnent toujours le même résultat.
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Vrai ou faux}, step={1}, origin={MEpC}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\searchMode}]
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Pour chacune des affirmations, expliquer si elles sont vraies ou fausses.
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\begin{enumerate}
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\item Pour tous les nombres $x$, on a $4+3x = 7x$.
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\item Pour tous les nombres $y$, on a $y^2 = y$.
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\item Pour tous les nombres $z$, on a $2z + z - 8 = 3z - 7 - 1$.
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\item Pour tous les nombres $t$, on a $\dfrac{4t-8}{8} = 4t - 1$.
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\item Pour tous les nombres $t$, on a $3t + 3 + 5 = t + 2t + 4$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Faux.} On ne peut pas additionner un nombre et un terme en $x$. Par exemple, pour $x = 1$ : $4 + 3 \times 1 = 7$ mais $7 \times 1 = 7$. Cependant, pour $x = 2$ : $4 + 3 \times 2 = 10$ mais $7 \times 2 = 14$. L'égalité n'est donc pas vraie pour tous les nombres.
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\item \textbf{Faux.} Cette égalité n'est vraie que pour $y = 0$ et $y = 1$. Par exemple, pour $y = 2$ : $2^2 = 4 \neq 2$.
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\item \textbf{Vrai.} Réduisons chaque membre :
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\begin{itemize}
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\item Membre de gauche : $2z + z - 8 = 3z - 8$
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\item Membre de droite : $3z - 7 - 1 = 3z - 8$
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\end{itemize}
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Les deux expressions sont égales.
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\item \textbf{Faux.} On ne peut pas simplifier ainsi. En développant le membre de gauche :
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\[
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\dfrac{4t-8}{8} = \dfrac{4t}{8} - \dfrac{8}{8} = \dfrac{t}{2} - 1
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\]
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Ce qui est différent de $4t - 1$.
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\item \textbf{Faux.} Réduisons chaque membre :
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\begin{itemize}
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\item Membre de gauche : $3t + 3 + 5 = 3t + 8$
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\item Membre de droite : $t + 2t + 4 = 3t + 4$
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\end{itemize}
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Les deux expressions ne sont pas égales ($8 \neq 4$).
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Aire de rectangles}, step={2}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\searchMode}]
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Trouver deux façons différentes de calculer l'aire de ces rectangles.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0, 0) -- node [midway, below] {1}
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(1, 0) coordinate (A) -- node [midway, below] {$x$}
|
||
(3, 0) -- node [midway, right] {3}
|
||
(3, 2) --
|
||
(1, 2) coordinate (B)--
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||
(0, 2) --
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||
cycle;
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||
\draw (A) -- (B);
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||
\end{tikzpicture}
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||
\item
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0, 0) -- node [midway, below] {$4$}
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||
(3, 0) -- node [midway, right] {$2$}
|
||
(3, 1.5) coordinate (A) -- node [midway, right] {$x$}
|
||
(3, 2) --
|
||
(0, 2) --
|
||
(0, 1.5) coordinate (B)--
|
||
cycle;
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||
\draw (A) -- (B);
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||
\end{tikzpicture}
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||
\item
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0, 0) -- node [midway, below] {$x$}
|
||
(1, 0) coordinate (A) -- node [midway, below] {$1$}
|
||
(3, 0) -- node [midway, right] {$3$}
|
||
(3, 1.5) coordinate (C) -- node [midway, right] {$x$}
|
||
(3, 2) --
|
||
(1, 2) coordinate (B)--
|
||
(0, 2) --
|
||
(0, 1.5) coordinate (D)--
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||
cycle;
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\draw (A) -- (B);
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\draw (C) -- (D);
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||
\end{tikzpicture}
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||
\item
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0, 0) -- node [midway, below] {$6x$}
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||
(1, 0) coordinate (A) -- node [midway, below] {$3$}
|
||
(3, 0) -- node [midway, right] {$2$}
|
||
(3, 1.5) coordinate (C) -- node [midway, right] {$2x$}
|
||
(3, 2) --
|
||
(1, 2) coordinate (B)--
|
||
(0, 2) --
|
||
(0, 1.5) coordinate (D)--
|
||
cycle;
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||
\draw (A) -- (B);
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||
\draw (C) -- (D);
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||
\end{tikzpicture}
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Pour chaque rectangle, on peut calculer l'aire de deux façons différentes : soit en calculant l'aire totale directement, soit en découpant le rectangle et en additionnant les aires des parties.
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Méthode 1 :} Aire totale = $(1 + x) \times 3 = 3 + 3x$
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\textbf{Méthode 2 :} Somme des aires = $1 \times 3 + x \times 3 = 3 + 3x$
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On obtient bien la même expression : $3 + 3x = 3(1 + x)$
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\item \textbf{Méthode 1 :} Aire totale = $4 \times (2 + x) = 8 + 4x$
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\textbf{Méthode 2 :} Somme des aires = $4 \times 2 + 4 \times x = 8 + 4x$
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On obtient bien la même expression : $8 + 4x = 4(2 + x)$
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\item \textbf{Méthode 1 :} Aire totale = $(x + 1) \times (3 + x) = 3x + x^2 + 3 + x = x^2 + 4x + 3$
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\textbf{Méthode 2 :} Somme des aires = $x \times 3 + x \times x + 1 \times 3 + 1 \times x = 3x + x^2 + 3 + x = x^2 + 4x + 3$
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On obtient bien la même expression.
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\item \textbf{Méthode 1 :} Aire totale = $(6x + 3) \times (2 + 2x) = 12x + 12x^2 + 6 + 6x = 12x^2 + 18x + 6$
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\textbf{Méthode 2 :} Somme des aires = $6x \times 2 + 6x \times 2x + 3 \times 2 + 3 \times 2x = 12x + 12x^2 + 6 + 6x = 12x^2 + 18x + 6$
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On obtient bien la même expression.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Masse volumique}, step={3}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
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La masse volumique $\rho$ (prononcer “rhô”) d’un échantillon de matière est une grandeur qui caractérise une espèce chimique. Elle dépend de son état (solide, liquide ou gaz) et de la température ambiante. Elle s’exprime en $g/L$. Elle est égale au quotient de sa masse $m$ (en g) par le volume $V$ (en L) qu’il occupe :
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\[
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\rho = \frac{m}{V}
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\]
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Sachant que la masse de $10 L$ d’acétone est de $\np{7840} g$, quelle est sa masse volumique ?
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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On utilise la formule $\rho = \dfrac{m}{V}$ avec $m = \np{7840}\,g$ et $V = 10\,L$.
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\[
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\rho = \dfrac{\np{7840}}{10} = 784\,g/L
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\]
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La masse volumique de l'acétone est de $784\,g/L$.
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Avec formulaire}, step={3}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
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À l'aide du formulaire fourni, et sans calculatrice, calculer les grandeurs suivantes en s'assurant de respecter les unités du Système International données par le formulaire :
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\begin{enumerate}
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\item La tension aux bornes d’une résistance de $4 \Omega$ parcourue par une intensité de $2,5 A$
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\item La période d’une oscillation à une fréquence de $5 Hz$
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\item La concentration en masse de $8 g$ de sel dans $4 L$ d’eau
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\item L’énergie cinétique d’une pomme d’une masse de $0,1 kg$ tombant d’un arbre à une vitesse de $2 m/s$
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\item La vitesse moyenne d’une balle ayant parcouru $35 m$ en $7 s$
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\item Le poids d’un wagon de train sur terre (où $g\approx 9,8N/kg$) d’une masse de $1000 kg$
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\item L’énergie électrique consommée en 60 s par un radiateur dont la puissance est de $2000 W$.
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\item La force de gravitation qu’exerce un potiron de $2 kg$ sur une citrouille de $4 kg$ situés à une distance de $4 m$ l’un de l’autre
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\item La masse volumique de l'éthanol, à partir d'un échantillon de $2\,L$ d'éthanol de masse $1,578\,kg$
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\item L’énergie cinétique d’une prune d’une masse de $8 g$ tombant d’un arbre à une vitesse de $2 m/s$
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\item La vitesse moyenne d’un vélo ayant parcouru $22 km$ en 1 h et 6 min
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\item La quantité de matière équivalant à $602 \times 10^{23}$ atomes d'oxygène
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\item Le poids d’un wagon TGV d’une masse de $400$ tonnes, sur terre
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\item La tension aux bornes d’une résistance de $4 c\Omega$ parcourue par une intensité de $2,5 mA$
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\item L’énergie électrique consommée en une journée par un radiateur dont la puissance est de $3 kW$, et qui fonctionne pendant 30\% du temps
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\item La concentration en masse de $0,2\,kg$ de sucre dilué dans $0,1\,m^3$ d'eau
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\item La force de gravitation qu’exerce une courgette de $500 g$ sur une tomate de $100 g$ situées à une distance de $10 cm$ l’une de l’autre
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Formule : $U = R \times I$ avec $R = 4\,\Omega$ et $I = 2,5\,A$
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$U = 4 \times 2,5 = 10\,V$
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\item Formule : $T = \dfrac{1}{f}$ avec $f = 5\,Hz$
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$T = \dfrac{1}{5} = 0,2\,s$
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\item Formule : $C_m = \dfrac{m}{V}$ avec $m = 8\,g$ et $V = 4\,L$
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$C_m = \dfrac{8}{4} = 2\,g/L$
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\item Formule : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ avec $m = 0,1\,kg$ et $v = 2\,m/s$
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$E_c = \dfrac{1}{2} \times 0,1 \times 2^2 = \dfrac{1}{2} \times 0,1 \times 4 = 0,2\,J$
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\item Formule : $v = \dfrac{d}{t}$ avec $d = 35\,m$ et $t = 7\,s$
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$v = \dfrac{35}{7} = 5\,m/s$
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\item Formule : $P = m \times g$ avec $m = 1000\,kg$ et $g = 9,8\,N/kg$
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$P = 1000 \times 9,8 = \np{9800}\,N$
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\item Formule : $E = P \times t$ avec $P = 2000\,W$ et $t = 60\,s$
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$E = 2000 \times 60 = \np{120000}\,J$
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\item Formule : $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$ avec $G = 6,67 \times 10^{-11}\,N \cdot m^2/kg^2$, $m_1 = 2\,kg$, $m_2 = 4\,kg$ et $d = 4\,m$
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$F = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2 \times 4}{4^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{8}{16} = 6,67 \times 10^{-11} \times 0,5 = 3,335 \times 10^{-11}\,N$
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\item Formule : $\rho = \dfrac{m}{V}$ avec $m = 1,578\,kg = 1578\,g$ et $V = 2\,L$
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$\rho = \dfrac{1578}{2} = 789\,g/L$
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\item Formule : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ avec $m = 8\,g = 0,008\,kg$ et $v = 2\,m/s$
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$E_c = \dfrac{1}{2} \times 0,008 \times 2^2 = \dfrac{1}{2} \times 0,008 \times 4 = 0,016\,J$
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||
\item Formule : $v = \dfrac{d}{t}$ avec $d = 22\,km = \np{22000}\,m$ et $t = 1\,h\,6\,min = 66\,min = 3960\,s$
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$v = \dfrac{\np{22000}}{3960} \approx 5,56\,m/s$
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\item Formule : $n = \dfrac{N}{N_A}$ avec $N = 602 \times 10^{23}$ et $N_A = 6,02 \times 10^{23}\,mol^{-1}$
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$n = \dfrac{602 \times 10^{23}}{6,02 \times 10^{23}} = 100\,mol$
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\item Formule : $P = m \times g$ avec $m = 400\,t = \np{400000}\,kg$ et $g = 9,8\,N/kg$
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$P = \np{400000} \times 9,8 = \np{3920000}\,N$
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\item Formule : $U = R \times I$ avec $R = 4\,c\Omega = 0,04\,\Omega$ et $I = 2,5\,mA = 0,0025\,A$
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$U = 0,04 \times 0,0025 = 0,0001\,V = 0,1\,mV$
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\item Formule : $E = P \times t$ avec $P = 3\,kW = 3000\,W$ et $t = 24\,h \times 0,3 = 7,2\,h = 25920\,s$
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||
$E = 3000 \times 25920 = \np{77760000}\,J$
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||
\item Formule : $C_m = \dfrac{m}{V}$ avec $m = 0,2\,kg = 200\,g$ et $V = 0,1\,m^3 = 100\,L$
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$C_m = \dfrac{200}{100} = 2\,g/L$
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||
\item Formule : $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$ avec $G = 6,67 \times 10^{-11}\,N \cdot m^2/kg^2$, $m_1 = 500\,g = 0,5\,kg$, $m_2 = 100\,g = 0,1\,kg$ et $d = 10\,cm = 0,1\,m$
|
||
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||
$F = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{0,5 \times 0,1}{0,1^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{0,05}{0,01} = 6,67 \times 10^{-11} \times 5 = 3,335 \times 10^{-10}\,N$
|
||
\end{enumerate}
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||
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Transformation du formulaire}, step={3}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
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À l'aide du formulaire fourni, calculer les grandeurs suivantes en s'assurant de respecter les unités du Système International données par le formulaire. On commencera par manipuler la formule afin d'isoler la grandeur recherchée, avant de faire l'application numérique :
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\begin{enumerate}
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\item La résistance d’un conducteur ohmique traversé par un courant électrique d’une intensité de $160 mA$ et aux bornes duquel on mesure une tension de $4 V$
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\item La fréquence d’une oscillation qui a une période de $0,5 s$
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\item La masse de sel contenue dans $2,5\,L$ d'eau à une concentration en masse de $9\,g/L$
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\item La masse d'une pomme tombant d'un arbre à une vitesse de $2\,m/s$ et ayant accumulé une énergie cinétique de $1\,J$
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\item La masse d’un concombre sachant qu’une citrouille de $2000 g$ située à une distance de $1m$ de lui exerce sur lui une force de gravitation de $6, 67 \times 10^{-11}N$
|
||
\item La puissance d'une lampe consommant $2400\,J$ en $60\,s$
|
||
\item La vitesse à laquelle tombe d’un arbre une cerise de $5 g$ ayant accumulé une énergie cinétique de $10 mJ$
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||
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On cherche $R$ dans la formule $U = R \times I$
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On isole $R$ : $R = \dfrac{U}{I}$
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||
Application numérique avec $U = 4\,V$ et $I = 160\,mA = 0,16\,A$ :
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||
$R = \dfrac{4}{0,16} = 25\,\Omega$
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||
\item On cherche $f$ dans la formule $T = \dfrac{1}{f}$
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On isole $f$ : $f = \dfrac{1}{T}$
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Application numérique avec $T = 0,5\,s$ :
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$f = \dfrac{1}{0,5} = 2\,Hz$
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\item On cherche $m$ dans la formule $C_m = \dfrac{m}{V}$
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On isole $m$ : $m = C_m \times V$
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Application numérique avec $C_m = 9\,g/L$ et $V = 2,5\,L$ :
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||
$m = 9 \times 2,5 = 22,5\,g$
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||
\item On cherche $m$ dans la formule $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$
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||
On isole $m$ : $m = \dfrac{2E_c}{v^2}$
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Application numérique avec $E_c = 1\,J$ et $v = 2\,m/s$ :
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$m = \dfrac{2 \times 1}{2^2} = \dfrac{2}{4} = 0,5\,kg$
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\item On cherche $m_2$ dans la formule $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$
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On isole $m_2$ : $m_2 = \dfrac{F \times d^2}{G \times m_1}$
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Application numérique avec $F = 6,67 \times 10^{-11}\,N$, $d = 1\,m$, $m_1 = 2000\,g = 2\,kg$ et $G = 6,67 \times 10^{-11}\,N \cdot m^2/kg^2$ :
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$m_2 = \dfrac{6,67 \times 10^{-11} \times 1^2}{6,67 \times 10^{-11} \times 2} = \dfrac{6,67 \times 10^{-11}}{13,34 \times 10^{-11}} = 0,5\,kg$
|
||
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\item On cherche $P$ dans la formule $E = P \times t$
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On isole $P$ : $P = \dfrac{E}{t}$
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Application numérique avec $E = 2400\,J$ et $t = 60\,s$ :
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$P = \dfrac{2400}{60} = 40\,W$
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\item On cherche $v$ dans la formule $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$
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On isole $v$ : $v^2 = \dfrac{2E_c}{m}$ donc $v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}$
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Application numérique avec $E_c = 10\,mJ = 0,01\,J$ et $m = 5\,g = 0,005\,kg$ :
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$v = \sqrt{\dfrac{2 \times 0,01}{0,005}} = \sqrt{\dfrac{0,02}{0,005}} = \sqrt{4} = 2\,m/s$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Emballage}, step={3}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\searchMode}]
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\begin{enumerate}
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\item J'ai une boîte de longueur $15\,cm$ et de largeur $8\,cm$, et qui contient $1\,L$ de sauce. J'ai eu la bonne idée d'enlever la partie supérieure, je ne peux donc pas la tourner... Rentrera-t-elle dans mon frigo dont les étagères sont espacées de $20\,cm$ ?
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\item Je veux emballer un livre de $20\,cm$ par $15\,cm$, d'une épaisseur de $3\,cm$. Quelle sera la surface d'emballage visible dont j'aurai besoin ?
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\item Pour des contraintes environnementales, je ne dois pas dépasser $0,12\,m^2$ d'emballage. Quelle est l'épaisseur maximale que peut avoir le livre pour que je puisse l'emballer tout en respectant les normes environnementales ?
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\item On considère un parallélépipède rectangle de longueur $L$, de largeur $l$ et de hauteur $h$. On note son volume $V$ et l'aire totale de ses faces $A$. Noter toutes les formules que vous avez utilisées pour répondre aux questions précédentes.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Pour calculer la hauteur de la boîte, on utilise la formule du volume :
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$V = L \times l \times h$ donc $h = \dfrac{V}{L \times l}$
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Avec $V = 1\,L = 1000\,cm^3$, $L = 15\,cm$ et $l = 8\,cm$ :
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$h = \dfrac{1000}{15 \times 8} = \dfrac{1000}{120} \approx 8,33\,cm$
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La hauteur de la boîte est d'environ $8,33\,cm$, ce qui est bien inférieur à $20\,cm$. \textbf{La boîte rentrera donc dans le frigo.}
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\item Pour emballer le livre, on doit couvrir toutes les faces visibles. Un livre a 6 faces, mais une face (celle qui repose) n'est généralement pas emballée. On emballe donc 5 faces.
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Les dimensions du livre sont : longueur $L = 20\,cm$, largeur $l = 15\,cm$, épaisseur $h = 3\,cm$.
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Surface d'emballage visible :
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\begin{itemize}
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\item Face avant et arrière : $2 \times (L \times h) = 2 \times (20 \times 3) = 120\,cm^2$
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\item Côtés gauche et droit : $2 \times (l \times h) = 2 \times (15 \times 3) = 90\,cm^2$
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\item Face supérieure : $L \times l = 20 \times 15 = 300\,cm^2$
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\end{itemize}
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Surface totale : $120 + 90 + 300 = 510\,cm^2 = 0,051\,m^2$
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\item On cherche l'épaisseur maximale $h$ sachant que la surface d'emballage ne doit pas dépasser $0,12\,m^2 = 1200\,cm^2$.
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Avec les mêmes dimensions $L = 20\,cm$ et $l = 15\,cm$, on a :
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$A = 2Lh + 2lh + Ll = 2h(L + l) + Ll$
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On isole $h$ :
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$2h(L + l) = A - Ll$
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$h = \dfrac{A - Ll}{2(L + l)}$
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Application numérique :
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$h = \dfrac{1200 - 20 \times 15}{2(20 + 15)} = \dfrac{1200 - 300}{2 \times 35} = \dfrac{900}{70} \approx 12,86\,cm$
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L'épaisseur maximale est d'environ $12,86\,cm$.
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\item Formules utilisées :
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\begin{itemize}
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\item Volume d'un parallélépipède rectangle : $V = L \times l \times h$
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\item Aire totale des faces : $A = 2(Ll + Lh + lh)$
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\item Aire de 5 faces (sans la base) : $A = 2Lh + 2lh + Ll$
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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