334 lines
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\begin{exercise}[subtitle={Programmation}, step={1}, origin={Création}, topics={Programmation}, tags={Python}, points=3]
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Dans cet exercice, vous devez compléter les programmes Python au niveau des pointillés.
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\begin{enumerate}
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\item On souhaite écrire une programme qui calcule la tension aux bornes d'une résistance avec la formule $U = R\times I$
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\begin{minipage}{\linewidth}
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\inputminted[bgcolor=base3,linenos]{python}{./scripts/tension.py}
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\end{minipage}
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\item A un indice IMC, on associe une interprétation suivant la règle suivante
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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Indice IMC & 0 à 18.5 & 18.5 à 25 & plus de 25 \\
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\hline
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Interprétation & Insuffisance & Normale & Surpoids\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{minipage}{\linewidth}
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\inputminted[bgcolor=base3,linenos]{python}{./scripts/interpretation_imc.py}
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\end{minipage}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Ligne 5 : tension = resistance * intensite
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\item Les lignes à compléter sont :
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\begin{itemize}
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\item Ligne 3 : if imc < 18.5:
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\item Ligne 5 : elif imc < 25:
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\item Ligne 7 : else:
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Cducosto}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations, inéquations}, points=5]
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L'entreprise Cducosto produit des outils de bricolages, en particulier, des marteaux. Voici les tableaux décrivant le signe et les variations des bénéfices (notés $B(x)$) en fonction du nombre de marteaux qu'elle produit et vend.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[]{$x$/1,Signes de $B(x)$/2}{0, 30, 120, 150}
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|
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
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|
\end{tikzpicture}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[]{$ x $/1, Variations de $ B(x) $/2}{0, 75, 150}
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\tkzTabVar{ -/-175, +/100, -/-175}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Tracer le graphique d'une fonction qui aurait le même tableau de signes que la fonction $B(x)$.
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\item Tracer le graphique d'une fonction qui aurait le même tableau de variations que la fonction $B(x)$.
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\item Si l'entreprise produit 10 marteaux, fait-elle des bénéfices?
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\item Quelles quantités de marteaux doit-elle produire pour que ses bénéfices soient positifs?
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\item Quelle quantité de marteaux doit-elle produire pour faire un maximum de bénéfices?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Le graphique doit être en dessous de l'axe des abscisses sur $[0;30[$ et sur $]120;150]$, et au-dessus sur $]30;120[$. Il doit couper l'axe en $x=30$ et $x=120$.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[xscale=0.04, yscale=0.015]
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|
\draw[->] (0,0) -- (160,0) node[right] {$x$};
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|
\draw[->] (0,-200) -- (0,120) node[above] {$B(x)$};
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\foreach \x in {30,75,120,150}
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|
\draw (\x,2) -- (\x,-2) node[below] {\x};
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|
\draw[very thick, red] plot [smooth] coordinates{(0,-50) (30,0) (60,50) (90,60) (120,0) (150,-50)};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
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|
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|
\item Le graphique doit décroître de $x=0$ à $x=75$, puis croître de $x=75$ à $x=150$. Le minimum est atteint en $x=75$ avec $B(75)=100$ et les valeurs aux extrémités sont $B(0)=-175$ et $B(150)=-175$.
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|
\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}[xscale=0.04, yscale=0.015]
|
|
\draw[->] (0,0) -- (160,0) node[right] {$x$};
|
|
\draw[->] (0,-200) -- (0,120) node[above] {$B(x)$};
|
|
\foreach \x in {30,75,120,150}
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|
\draw (\x,2) -- (\x,-2) node[below] {\x};
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|
\draw (2,100) -- (-2,100) node[left] {100};
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|
\draw (2,-175) -- (-2,-175) node[left] {-175};
|
|
\draw[very thick, red] plot [smooth] coordinates{(0,-175) (30,-100) (75,100) (120,-100) (150,-175)};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
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|
\item Pour $x=10$, d'après le tableau de signes, $B(10) < 0$ car $10 \in [0;30[$. Donc l'entreprise ne fait pas de bénéfices, elle est en déficit.
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\item D'après le tableau de signes, $B(x) > 0$ sur l'intervalle $]30;120[$. L'entreprise doit donc produire entre 30 et 120 marteaux (strictement) pour avoir des bénéfices positifs.
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|
\item D'après le tableau de variations, le maximum de bénéfices est atteint pour $x=75$ marteaux, avec un bénéfice de $100$ (unités monétaires).
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations}, points=4]
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Tracer le tableau de signes puis le tableau de variation de la fonction suivante
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
|
ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
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|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-4, -4) (-3.5, -3) (-3, 0) (-2, 1) (-1, 0) (0, -3) (1, -1) (2, -3) (2.5,0) (3, 2) (4, 3)};
|
|
\draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{exercise}
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|
\begin{solution}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Le tableau de signes de la fonction $f$ est :
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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|
\tkzTabInit[]{$x$/1,Signes de $f(x)$/2}{-4, -3, -1, 2.5, 4}
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|
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, +,}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item Le tableau de variations de la fonction $f$ est :
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[]{$ x $/1, Variations de $ f(x) $/2}{-4, -2, 0, 3, 4}
|
|
\tkzTabVar{ -/-4, +/1, -/-3, +/3, -/}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Vecteurs}, step={1}, origin={Création}, topics={vecteurs}, tags={vecteurs}, points=5]
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|
\begin{enumerate}
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\item
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Tracer le vecteur demandé
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\noindent
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}[leftmargin=1em]
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|
\item $\vect{w} = \vect{u} + \vect{v}$
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|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
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|
\draw[gray] (0,0) grid (6,6);
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,1) -- (2,6) node [midway, above, sloped] {$\vect{u}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue] (3,2) -- (6,1) node [midway, above, sloped] {$\vect{v}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\item $\vect{x} = \vect{u} + \vect{v}$
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
|
\draw[gray] (0,0) grid (6,6);
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,2) -- (2,6) node [midway, above, sloped] {$\vect{u}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,2) -- (4,0) node [midway, above, sloped] {$\vect{v}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\item $\vect{z} = 2\vect{u} - \vect{v}$
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
|
\draw[gray] (0,0) grid (6,6);
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,2) -- (2,4) node [midway, above, sloped] {$\vect{u}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,2) -- (0,4) node [midway, above, sloped] {$\vect{v}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\noindent
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{1}
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|
\item À l'aide du quadrillage ou de la relation de Chasles, écrire les calculs de vecteurs suivantes sous forme d'un seul vecteur
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|
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|
\begin{multicols}{2}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\vect{AC} + \vect{CR}$
|
|
\item $\vect{CL} + \vect{AI}$
|
|
|
|
\item $\vect{TC} + \vect{FO}$
|
|
\item $\vect{BJ} + \vect{EM} + \vect{TD}$
|
|
|
|
\item $\frac{1}{2}\vect{AE} + 2\vect{DI}$
|
|
\item $2\vect{FM} - \vect{KP}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
|
|
\draw[step=1cm, gray, thin] (0,1) grid (4,4);
|
|
\foreach \x in {0,...,4}
|
|
\foreach \y in {1,...,4}
|
|
\fill (\x,\y) circle (2pt);
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|
|
|
\node at (0,4) [above right] {A};
|
|
\node at (1,4) [above right] {B};
|
|
\node at (2,4) [above right] {C};
|
|
\node at (3,4) [above right] {D};
|
|
\node at (4,4) [above right] {E};
|
|
\node at (0,3) [above right] {F};
|
|
\node at (1,3) [above right] {G};
|
|
\node at (2,3) [above right] {H};
|
|
\node at (3,3) [above right] {I};
|
|
\node at (4,3) [above right] {J};
|
|
\node at (0,2) [above right] {K};
|
|
\node at (1,2) [above right] {L};
|
|
\node at (2,2) [above right] {M};
|
|
\node at (3,2) [above right] {N};
|
|
\node at (4,2) [above right] {O};
|
|
\node at (0,1) [above right] {P};
|
|
\node at (1,1) [above right] {Q};
|
|
\node at (2,1) [above right] {R};
|
|
\node at (3,1) [above right] {S};
|
|
\node at (4,1) [above right] {T};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{exercise}
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|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Construction graphique des vecteurs :
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|
\noindent
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|
\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}[leftmargin=1em]
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|
\item $\vect{w} = \vect{u} + \vect{v}$
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|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
|
\draw[gray] (0,0) grid (6,6);
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,1) -- (2,6) node [midway, above, sloped] {$\vect{u}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue] (3,2) -- (6,1) node [midway, above, sloped] {$\vect{v}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue, dashed] (2,6) -- (5,5);
|
|
\draw[->, very thick, red] (0,1) -- (5,5) node [midway, below, sloped] {$\vect{w}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\item $\vect{x} = \vect{u} + \vect{v}$
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
|
\draw[gray] (0,0) grid (6,6);
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,2) -- (2,6) node [midway, above, sloped] {$\vect{u}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,2) -- (4,0) node [midway, above, sloped] {$\vect{v}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue, dashed] (2,6) -- (6,4);
|
|
\draw[->, very thick, blue, dashed] (4,0) -- (6,4);
|
|
\draw[->, very thick, red] (0,2) -- (6,4) node [midway, below, sloped] {$\vect{x}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\item $\vect{z} = 2\vect{u} - \vect{v}$
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
|
\draw[gray] (0,0) grid (6,6);
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,2) -- (2,4) node [midway, above, sloped] {$\vect{u}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,2) -- (0,4) node [midway, left] {$\vect{v}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue, dashed] (0,2) -- (4,6) node [midway, above, sloped] {$2\vect{u}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue, dashed] (4,6) -- (4,4) node [midway, right] {$-\vect{v}$};
|
|
\draw[->, very thick, red] (0,2) -- (4,4) node [midway, below, sloped] {$\vect{z}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
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|
\item En utilisant la relation de Chasles ou le quadrillage :
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|
\begin{enumerate}
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\item $\vect{AC} + \vect{CR} = \vect{AR}$
|
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|
\item $\vect{CL} + \vect{AI}$ : en construisant graphiquement, on part de $C$, on va à $L$ (1 à gauche, 2 en bas), puis de $A$ on va à $I$ (3 à droite, 1 en bas). Au total : 2 à droite et 3 en bas, donc $\vect{CL} + \vect{AI} = \vect{AO}$.
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|
\item $\vect{TC} + \vect{FO}$ : de $T$ à $C$ (1 à gauche, 3 en haut), puis de $F$ à $O$ (4 à droite, 1 en bas). Au total : 3 à droite et 2 en haut, donc $\vect{TC} + \vect{FO} = \vect{PD}$.
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|
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|
\item $\vect{BJ} + \vect{EM} + \vect{TD}$ : de $B$ à $J$ (3 à droite, 1 en bas), de $E$ à $M$ (2 à gauche, 1 en bas), de $T$ à $D$ (1 à gauche, 3 en haut). Au total : 0 horizontalement et 1 en haut, donc $\vect{BJ} + \vect{EM} + \vect{TD} = \vect{PK}$.
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|
\item $\frac{1}{2}\vect{AE} + 2\vect{DI}$ : $\frac{1}{2}\vect{AE}$ va de $A$ au milieu de $[AE]$ (point $C$), soit 2 à droite. $2\vect{DI}$ est le double de $\vect{DI}$ (0 horizontalement, 1 en bas), soit 2 en bas. Au total : 2 à droite et 2 en bas, donc $\frac{1}{2}\vect{AE} + 2\vect{DI} = \vect{AO}$.
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|
|
|
\item $2\vect{FM} - \vect{KP}$ : $2\vect{FM}$ est le double de $\vect{FM}$ (2 à droite, 1 en bas), soit 4 à droite et 2 en bas. $\vect{KP}$ va de $K$ à $P$ (0 horizontalement, 1 en bas). Soustraire $\vect{KP}$ revient à ajouter 1 en haut. Au total : 4 à droite et 1 en bas, donc $2\vect{FM} - \vect{KP} = \vect{FJ}$.
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|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Vrai/faux}, step={1}, origin={Création}, topics={vecteurs}, tags={vecteurs}, points=3]
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|
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.
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\begin{itemize}
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|
\item Si elle est fausse, proposer un contre-exemple
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\item Si elle est vrai, expliquer pourquoi.
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|
\end{itemize}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Si $ABCD$ est un parallélogramme alors $\vect{AB} = \vect{CD}$.
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|
\item Si $\vect{AB} = \vect{CD}$ alors $AC = BD$.
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|
\item Si $(AB) // (DC)$ et $AC=BD$ alors $ABCD$ est un parallélogramme.
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|
\end{enumerate}
|
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\end{exercise}
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|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \textbf{Faux.} Dans un parallélogramme $ABCD$, on a $\vect{AB} = \vect{DC}$ et non $\vect{AB} = \vect{CD}$.
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|
|
|
Contre-exemple : dans un parallélogramme, $\vect{CD}$ et $\vect{AB}$ sont de sens opposés.
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|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
|
|
\draw[gray] (0,0) grid (4,3);
|
|
\draw (0,0) node[below left] {$A$} -- (3,0) node[below right] {$B$} -- (4,2) node[above right] {$C$} -- (1,2) node[above left] {$D$} -- cycle;
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,0) -- (3,0) node[midway, below] {$\vect{AB}$};
|
|
\draw[->, very thick, red] (4,2) -- (1,2) node[midway, above] {$\vect{CD}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item \textbf{Vrai.} L'égalité $\vect{AB} = \vect{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme et donc que $AC = DB$
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|
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|
Illustration:
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\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
|
|
\draw[gray] (0,0) grid (4,3);
|
|
\draw (0,0) node[below left] {$A$} -- (2,0) node[below] {$B$};
|
|
\draw (1,2) node[above left] {$C$} -- (3,2) node[above] {$D$};
|
|
\draw[dashed] (0,0) -- (1,2);
|
|
\draw[dashed] (2,0) -- (3,2);
|
|
\draw[->, very thick, blue] (0,0) -- (2,0) node[midway, below] {$\vect{AB}$};
|
|
\draw[->, very thick, blue] (1,2) -- (3,2) node[midway, above] {$\vect{CD}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\item \textbf{Faux.} Ces deux conditions ne suffisent pas pour garantir que $ABCD$ est un parallélogramme.
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|
|
|
Contre-exemple : dans le dessin ci-dessous, les droites sont parallèles, on a l'égalité de longueur mais on a pas de parallélogramme.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
|
|
%\draw[gray] (0,0) grid (4,3);
|
|
\draw (0,0) node[below left] {$A$} -- (4,0) node[below] {$B$};
|
|
\draw (1,2) node[above left] {$C$} -- (3,2) node[above] {$D$};
|
|
\draw[dashed, blue] (0,0) -- (1,2);
|
|
\draw[dashed, blue] (2,0) -- (3,2);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|