2025-2026/1G_EnsSci/04_Fonciton_affine/plan_de_travail.tex

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\author{Benjamin Bertrand}
\title{Fonction affine - Plan de travail}
\tribe{1G EnsSci}
\date{décembre 2025}

\pagestyle{empty}

\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
}


\begin{document}
\maketitle

Savoir-faire de la séquence
\begin{itemize}
    \item Reconnaître une fonction affine et sa représentation graphique
    \item Lire graphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
    \item Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de sa représentation graphique
    \item Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de deux valeurs
    \item Utiliser le taux d'accroissement pour calculer le coefficient directeur
    \item Modéliser des situations concrètes avec des fonctions affines
    \item Résoudre des problèmes de seuil dans le cas d'une croissance linéaire
\end{itemize}

\bigskip

\section{Découverte fonction affine}

\begin{definition}[Fonction affine]
    Une \textbf{fonction affine} est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
    \[
        f(x) = ax + b
    \]
    où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

    \begin{itemize}
        \item $a$ est appelé le \textbf{coefficient directeur} (ou \textbf{pente})
        \item $b$ est appelé l'\textbf{ordonnée à l'origine}
    \end{itemize}
\end{definition}

\paragraph{Cas particuliers :}

\begin{itemize}
    \item Si $b = 0$, alors $f(x) = ax$ : on dit que $f$ est une \textbf{fonction linéaire}
    \item Si $a = 0$, alors $f(x) = b$ : on dit que $f$ est une \textbf{fonction constante}
\end{itemize}

\begin{propriete}[Représentation graphique]
    La représentation graphique d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une \textbf{droite}.

    \begin{itemize}
        \item Le coefficient directeur $a$ indique la \textbf{pente} de la droite
        \item L'ordonnée à l'origine $b$ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées
    \end{itemize}
\end{propriete}

\paragraph{Exemple :}

La fonction $f(x) = 2x + 1$ est une fonction affine avec $a = 2$ et $b = 1$.

\vspace{1cm}

\listsectionexercises

\section{Calculer expression d'une fonction affine}

\paragraph{Lire graphiquement une expression}

\begin{methode}[À partir du graphique]
    Pour déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de sa représentation graphique :

    \begin{enumerate}
        \item On lit l'ordonnée à l'origine $b$ (point d'intersection avec l'axe des ordonnées)
        \item On choisit deux points de la droite et on calcule le coefficient directeur $a$ avec la formule du taux d'accroissement :
            \[
                a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
            \]
        \item On écrit l'expression : $f(x) = ax + b$
    \end{enumerate}
\end{methode}

\paragraph{Exemple :}

Sur le graphique ci-dessous, on lit $b = 1$ (la droite coupe l'axe des ordonnées en 1).

En prenant les points $A(0; 1)$ et $B(2; 5)$, on calcule :
\[
    a = \frac{5 - 1}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2
\]

Donc $f(x) = 2x + 1$.

\vspace{2cm}

\paragraph{Calculer une expression}

\begin{methode}[À partir de deux valeurs]
    Pour déterminer l'expression d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ connaissant deux valeurs $f(x_A) = y_A$ et $f(x_B) = y_B$ :

    \begin{enumerate}
        \item On calcule le coefficient directeur $a$ avec la formule :
            \[
                a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
            \]
        \item On remplace $a$, $x_A$ et $y_A$ dans l'équation $y_A = a \times x_A + b$ pour trouver $b$
        \item On écrit l'expression finale : $f(x) = ax + b$
    \end{enumerate}
\end{methode}

\paragraph{Exemple :}

Soit $f$ une fonction affine telle que $f(0) = 3$ et $f(2) = 11$.

\begin{enumerate}
    \item Calcul de $a$ :
        \[
            a = \frac{11 - 3}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4
        \]

    \item Calcul de $b$ : On utilise $f(0) = 3$
        \[
            3 = 4 \times 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 3
        \]

    \item Expression de $f$ :
        \[
            f(x) = 4x + 3
        \]
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\listsectionexercises

\section{Mise en situation}

\begin{propriete}[Sens de variation]
    Soit $f(x) = ax + b$ une fonction affine.

    \begin{itemize}
        \item Si $a > 0$, alors $f$ est \textbf{strictement croissante} sur $\mathbb{R}$
        \item Si $a < 0$, alors $f$ est \textbf{strictement décroissante} sur $\mathbb{R}$
        \item Si $a = 0$, alors $f$ est \textbf{constante} sur $\mathbb{R}$
    \end{itemize}
\end{propriete}

\begin{methode}[Résoudre un problème de seuil]
    Pour résoudre un problème de seuil :

    \begin{enumerate}
        \item Modéliser la situation par une fonction affine $f(x) = ax + b$
        \item Traduire la question par une équation ou une inéquation
        \item Résoudre l'équation ou l'inéquation
        \item Interpréter le résultat dans le contexte du problème
    \end{enumerate}
\end{methode}

\paragraph{Exemple :}

Un plongeur descend dans l'eau. La pression $P$ (en bars) qu'il subit en fonction de la profondeur $x$ (en mètres) est donnée par $P(x) = 0,1x + 1$.

À quelle profondeur la pression atteint-elle 5 bars ?

On résout : $0,1x + 1 = 5$

\vspace{2cm}

\listsectionexercises


\bigskip
\hline
\bigskip


\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}


\end{document}