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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Loi binomiale}
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\author{}
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\date{13 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{Exo}(4 points)\\
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% QCM
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L'exercice suivant est un QCM. La notation est la suivante:
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\begin{itemize}
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\item +1 si la réponse est juste.
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\item 0 s'il n'y a pas de réponse.
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\item -1 si la réponse est fausse.
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\end{itemize}
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On ne demande pas de justifier votre réponse. Il y a un seule réponse possible. Si à la fin de l'exercice vous avec une note négative, elle sera mise à zéro dans la note finale du devoir.
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\begin{enumerate}
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\item Sur un arbre correspondant à un schéma de Bernoulli de paramètres 5 et $0.7$, il y a autant de chemins avec 3 succès que de chemins avec 1 succès?
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\begin{center}
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a) Vrai \hspace{5cm} b) Faux
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\end{center}
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\item On considère $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}\left( 5; \frac{1}{3} \right)$. Elle peut alors prendre les valeurs entières comprises entre 1 et 5.
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\begin{center}
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a) Vrai \hspace{5cm} b) Faux
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\end{center}
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\item Un panier contient 20 fraises et 30 framboises. On prend simultanément 5 fruits. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fraise. $X$ suit alors une loi binomiale de paramètres 5 et $\frac{20}{50}$.
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\begin{center}
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a) Vrai \hspace{5cm} b) Faux
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\end{center}
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\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 10 et $p$. Alors $P(X=4) = 4p^4(1-p)^6$.
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\begin{center}
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a) Vrai \hspace{5cm} b) Faux
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(6 points) \\
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% exercice 47p309 du bouquin des S
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Corentin fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut.On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02. \\
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Corentin achète 50 composants. On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment grand pour que l'achat de 50 composants soit assimilié à 50 tirages indépendants avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de composant défectueux achetés.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi de $X$? Quelles sont les paramètres?
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\item Calculer, au centième près, la probabilité qu'exactement deux composants achetés soient défectueux.
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\item Calculer, au centième près, la probabilité qu'au moins deux composants achetés soient défectueux.
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\item Quel est,par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux?
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo} (10 points) \\
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$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( 15; 0,4 \right)$. On donne les valeurs suivantes
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\begin{center}
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\begin{tabular}[h]{|c|*{16}{c|}}
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\hline
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$k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline
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$P(X=k)$ & 0.0 & 0.005 & 0.022 & $\cdots$ & 0.127 & 0.186 & $\ldots$ & 0.177 & 0.118 & $\ldots$ & 0.024 & 0.007 & 0.002 & 0.0 & 0.0 & 0.0 \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Compléter le tableau en expliquant vos calculs.
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\item Déterminez le plus petit entier $a$ tel que $P(X\leq a) \geq 0.025$.
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\item Déterminez le plus petit entier $b$ tel que $P(X\leq b) \geq 0.975$.
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\item Calculer l'espérance de $X$.
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\item Représenter graphiquement la loi de $X$. Placer sur le graphique $a$, $b$ et $E[X]$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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