2012-2013/1ES/DM/DM_130328/DM_correction.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}

% Title Page
\title{Devoir Maison: Suites Correction}
\author{}
\date{28 mars 2012}

\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES1$ : \Thetitle}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{Exo}(43 p 141)
		\begin{enumerate}
				\item On remarque que le premier terme $u_0$ est positif et que la suite est décroissante, donc $q$ est compris entre 0 et 1.
				\item Ici $u_0$ est positif et la suite est croissante, donc $q$ est plus grand que 1.
				\item $u_0$ est négatif et la suite est croissante, donc $q$ est compris entre 0 et 1.
				\item $u_0$ est négatif et la suite est décroissante, donc $q$ est plus grand que 1.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}(34 p 140)
\begin{enumerate}
		\item On va modéliser la situation par une suite $u$ représentant l'évolution de la consommation de cacao au fil des ans. La suite commence par $u_0$ (qu'il faudra calculer) la valeur de la consommation de cacao en 1995. L'énoncé nous donne deux valeurs
				\begin{eqnarray*}
						u_2 = 3.04 \quad u_{10} = 4.07 
				\end{eqnarray*}
				Dans l'énoncé, on nous dit que l'évolution est linéaire donc la suite est arithmétique. On note alors $r$ la raison (qu'il faudra calculer). La suite est alors de la forme
				\begin{eqnarray*}
						u_n = u_0 + nr
				\end{eqnarray*}

		\item Calcul de l'augmentation annuelle
				\begin{eqnarray*}
						\frac{4.07 - 3.04}{2005 - 1997} = \frac{1.04}{8} = 0.13
				\end{eqnarray*}
				Donc la raison de la suite est $r = 0.13$.
				On en déduit $u_0$ la valeur de la consommation en 1995.
				\begin{eqnarray*}
						u_2 = u_0 + 2\times 0.13 = 3.04 &\equiv& u_0 = 3.04 - 2\times 0.13 = 2.78
				\end{eqnarray*}
		\item Consommation en 2015
				\begin{eqnarray*}
						u_{20} = 2.78 + 20 \times 0.13 = 5.38
				\end{eqnarray*}
				Donc la consommation en 2015 sera de 5.38kg/habitants.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}(47 p 141)
		\begin{enumerate}
				\item Calculons $u_1$ et $u_2$. On a une diminution de $15\%$ donc on multiplie les valeurs par $\left( 1 - \dfrac{15}{100} \right)$.
						\begin{eqnarray*}
								u_1 = 2000 \times \left( 1 - \frac{15}{100} \right) = 2000 \times 0.85 = 1700 \\
								u_2 = 1700 \times \left( 1 - \frac{15}{100} \right) = 1700 \times 0.85 = 1445
						\end{eqnarray*}
				\item L'évolution est donnée en pourcentage, donc la suite est géométrique. La raison est $q = \left( 1 - \dfrac{15}{100} \right) = 0.85$ et le premier terme est $u_0 = 2000$. On en déduit la relation de récurrence
						\begin{eqnarray*}
								u_n = 0.85 u_{n-1}
						\end{eqnarray*}
						et la formule explicite
						\begin{eqnarray*}
								u_n = u_0 \times q^n = 2000 \times 0.85^n
						\end{eqnarray*}
				\item Avec la calculatrice, on a
						\begin{eqnarray*}
								u_{14} = 205 \quad u_{15} = 174
						\end{eqnarray*}
						Donc après 15 jours, on peut considérer que l'épidémie est endiguée.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}(13 feuille)
		\begin{enumerate}
				\item Calcul de raison. La suite est arithmétique donc en notant $r$ la raison et $u_0$ le premier terme, la relation explicite de la suite est 
						\begin{eqnarray*}
							u_n = u_0 + n\times r	
						\end{eqnarray*}
						Or on sait que 
						\begin{eqnarray*}
								u_3 = 2400 = u_0 + 3 \times r \\
								u_{10} = 300 = u_0 + 10 \times r
						\end{eqnarray*}
						On a donc
						\begin{eqnarray*}
								\left\{ \begin{array}{lcr} 
										2400 &=& u_0 + 3 \times r\\
										300 &=& u_0 + 10 \times r
								\end{array}
								\right.
								&\equiv&
								\left\{ \begin{array}{lcr} 
										u_0 &=& 3 \times r - 2400\\
										u_0 &=& 10 \times r - 300
								\end{array}
								\right.
						\end{eqnarray*}
						Donc 
						\begin{eqnarray*}
								3\times r - 2400 = 10 \times r - 300 &\equiv& 7 \times r = -2100 \\
								&\equiv& r = -300
						\end{eqnarray*}
						On déduit $u_0$ à partir de la première égalité
						\begin{eqnarray*}
								u_0 = 300 - 10 \times (-300) = 3300
						\end{eqnarray*}
				\item Calculons $u_{100}$
						\begin{eqnarray*}
								u_{100} = 3300 + 100 \times (-300) = -26700
						\end{eqnarray*}
				\item Relation explicite de $u$
						\begin{eqnarray*}
								u_n = 3300 +  n\times (-300)
						\end{eqnarray*}
				\item Comme la raison est -300 donc négative et que la suite est arithmétique, la suite est décroissante.
				\item \note{TODO?}
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}(18 feuille)
		\begin{enumerate}
				\item La suite est géométrique donc en notant $q$ la raison et $u_0$ le premier terme, la suite est de la forme suivant
						\begin{eqnarray*}
								u_n = u_0 \times q^n
						\end{eqnarray*}
						On sait que $u_3 = 2400$ et $u_5 = 300$ on a donc
						\begin{eqnarray*}
								\left\{ \begin{array}{lcr}
												2400 &=& u_0 \times q^3 \\
												300 &=& u_0 \times q^5 
								\end{array}
								\right.
						\end{eqnarray*}
						Donc
						\begin{eqnarray*}
								\frac{u_5}{u_3} = \frac{u_0 \times q^5}{u_0\times q^3} = q^2
						\end{eqnarray*}
						Mais on a aussi
						\begin{eqnarray*}
								\frac{u_5}{u_3} = \frac{300}{2400} =\frac{1}{8} 
						\end{eqnarray*}
						Donc finalement
						\begin{eqnarray*}
								q^2 = \frac{1}{8} &\equiv& q^2 = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0.35
						\end{eqnarray*}
						On déduit $u_0$ à partit de la première égalité
						\begin{eqnarray*}
								2400 = u_0 \times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^3 &\equiv& u_0 = \frac{2400}{\left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^3} \\
								&\equiv& u_0 = 54305
						\end{eqnarray*}
				\item Calculons $u_{100}$
						\begin{eqnarray*}
								u_{100} = 543065\times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^100 = 3.8 \times 10^{-41}
						\end{eqnarray*}
				\item Relation explicite de $u$
						\begin{eqnarray*}
								u_n = 54305 \times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^n
						\end{eqnarray*}
				\item Le premier terme $u_0$ est positif et la raison $q$ est plus petite que 1 donc la suite est décroissante.
				\item \note{TODO?}
		\end{enumerate}
		
\end{Exo}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: