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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{subfig}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
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\author{}
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\date{19 fervrier 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{center}
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\textbf{Sujet Finlande}\\
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\end{center}
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Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.
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\begin{Exo}(5 points)\\
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Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver des fonctions $f$ et $g$ définies de la manière suivante
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\begin{eqnarray*}
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f:x\mapsto \sqrt{x}\left( x^{30} + \frac{1}{x} \right) \\
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g:x\mapsto \frac{2x-8}{x^2 - 2x - 3}
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\end{eqnarray*}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(8 points)\\
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%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
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Soit la fonction $f(x) = -x^3 - x^2 + x + 3$.
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\begin{enumerate}
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\item Étudier le sens de variation de $f$.
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\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-3;2]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,5cm sur l'axe des abscisse et 2cm sur l'axe des ordonnées.
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\item Déterminer l'équation de la tangente,$T$, à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse -2. La tracer sur le graphique. Dans la suite, on notera $t(x)$ la fonction associée à $T$.
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\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $T$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - t(x)$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad x^3-\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4} = (x+1)\left( x-\dfrac{1}{2} \right)^2$
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\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
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\end{enumerate}
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\item Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=9x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(7 points)\\
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% Étude de varia et étude de position de tangente
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On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
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\begin{eqnarray*}
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f : x \mapsto \frac{x-1}{3-2x} \quad
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g : x \mapsto -\frac{1}{2}x
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\end{eqnarray*}
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Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
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\begin{eqnarray*}
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h :x \mapsto \frac{x^2 - \frac{1}{2}x - 1}{3-2x}
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\end{eqnarray*}
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\item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
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\begin{eqnarray*}
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h'(x) = \frac{-2x^2 + 6x - \frac{7}{2}}{(3-2x)^2}
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\end{eqnarray*}
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Et étudier le sens de variation de $h$.
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\item Montrer que sur $]\dfrac{3}{2} \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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