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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{eurosym}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Probabilité}
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\author{}
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\date{6 mai 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ére}}S7$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{Exo}
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% Loi de proba, calcul de E et V et décalage des éléments
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À force de confisquer les téléphones portables de ses élèves, un professeur a pu établir le tableau suivant
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\begin{center}
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\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
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\hline
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Type de portable & Vieux & À clapet & Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite \\ \hline
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Fréquence (en \%)& 20 & 10 & 15 & 50 & 5 \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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Il décide alors de ne plus les rendre en fin de cours mais de les vendre au marché noir. Il se renseigne alors sur les prix de vente:
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\begin{center}
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\begin{tabular}[h]{|c| *{6}{c|}}
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\hline
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Type de portable & Vieux & À clapet & Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette \\ \hline
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Prix de revente (en \euro) & 10 & 40 & 70 & 150 & 200 & 250 \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On note $X$ la variable aléatoire désignant le prix de revente d'un téléphone confisqué.
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\begin{enumerate}
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\item Donner le loi de probabilité de $X$
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\item Calculer l'espérance de $X$. Que signifie cette valeur?
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\item Calculer l'écart-type de $X$.
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\item Il estime qu'il confisque en moyenne 10 téléphones par jour. Malheureusement, son revendeur lui prend une commission de 100 \euro{} par jour. On note $Y$ la variable aléatoire désignant le bénéfice du professeur par jour.
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\begin{enumerate}
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\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
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\item Calculer l'espérance de $Y$.
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\item S'il travaille 200 jours par an, combien aura-t-il gagné à la fin de l'année? Peut-il devenir riche de cette manière?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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% Des arbres pondérés et jeux
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Soient 4 dés à 6 faces équilibrés (dit d'Efron) avec sur les faces les chiffres suivants:
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\begin{itemize}
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\item Dé $A$: \; 0 \; ; \; 0 \; ; \; 4 \; ; \; 4 \; ; \; 4 \; ; \; 4
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\item Dé $B$: \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3
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\item Dé $C$: \; 2 \; ; \; 2 \; ; \; 2 \; ; \; 2 \; ; \; 6 \; ; \; 6
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\item Dé $D$: \; 1 \; ; \; 1 \; ; \; 1 \; ; \; 5 \; ; \; 5 \; ; \; 5
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\end{itemize}
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\begin{enumerate}
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\item On lance le dé $A$ puis le dé $B$. Quelle est la probabilité pour que le résultat du dé $A$ soit plus fort que celui du dé $B$?
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\item Même question avec les dés $B$ et $C$.
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\item On veut maintenant faire la même chose avec les dés $C$ et $D$.
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\begin{enumerate}
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\item On lance le dé $C$ puis le dé $D$. Reproduire et compléter l'arbre suivant.
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/arbre}
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\end{center}
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\item Quelle est la probabilité pour que le résultat du dé $C$ soit plus grand que le résultat du dé $D$?
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\item Même questionpour le dé $D$ contre le dé $A$.
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\end{enumerate}
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\item Fort de ces connaissance, vous proposez à un ami de jouer au jeu suivant:
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\begin{quote}
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``Vous misez 55 \euro{} et lui proposez de miser 45 \euro{}. Il pourra alors choisir un dé parmi les 4 dés ($A$, $B$, $C$ et $D$). Une fois son choix fait vous choisissez à votre tour un dé. Puis vous lancez simultanément vos dés. Celui qui a le plus haut score gagne la mise (100\euro).''
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\end{quote}
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\begin{enumerate}
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\item S'il choisit le dé $A$, quel dé allez vous choisir? Et s'il choisit le $B$? Et le $C$? Et le $D$?
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\item Dans tous les cas quelle est votre chance de gagner?
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\item Vous lui proposez de jouer 3 fois. Quelle est la probabilité que vous gagnez au moins 2 fois?
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\item Ce jeux est-il équilibré?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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