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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Suites}
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\author{}
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\date{5 juin 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item Soit $v$ la suite définit de la manière suivante: $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = -1 v_{n}$. La suite $v$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) Croissante \quad b) Décroissante \quad c) \colorbox{green}{ni l'un ni l'autre}
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\end{center}
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En effet, on reconnait que $v$ est une suite géométrique de raison -1 donc négative. Ainsi $v$ prendre alternativement des valeurs positives et négatives. Elle est donc ni croissante ni décroissante.
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\item Soit $w$ la suite définit de la manière suivante: $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$ $u_{n+1} = \frac{n-3}{2} + \frac{3}{2}$. La suite $w$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) \colorbox{green}{arithmétique de raison $\frac{1}{2}$} \quad b) arithmétique de raison $\frac{-3}{2}$ \quad c) géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
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\end{center}
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En effet, si on simplifie l'expression de $u$, on obtient
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\begin{eqnarray*}
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u_{n+1} = \frac{n}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = \frac{n}{2}
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\end{eqnarray*}
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Donc
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\begin{eqnarray*}
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u_{n} = \frac{n-1}{2} = \frac{n}{2} - \frac{1}{2}
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\end{eqnarray*}
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On reconnait l'expression explicite d'une suite arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $u_0 = -\frac{1}{2}$.
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\item La somme des puissances de 2 de $2^0$ à $2^{11}$ (c'est à dire $2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{11}$) est égale à
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\medskip
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\begin{center}
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a) $2^{11} - 1$ \quad b) $1 - 2^{12}$ \quad c) \colorbox{green}{ni l'un ni l'autre}
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\end{center}
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En effet, si on pose $u_n = 2^n$ on a une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $u_0 = 1$. Donc d'après la formule de sommation on a
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\begin{eqnarray*}
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2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{11} = u_0 + u_1 + \cdots + u_{11} = u_0 \frac{1 - q^{11+1}}{1 - q} = \frac{1 - 2^{12}}{1 - 2} = 2^{12} - 1
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item Pour déterminer la relation explicite de $u$, comme on sait qu'elle est arithmétique, il faut d'abord déterminer sa raison $r$ et son premier terme $u_0$. Pour cela nous avons deux valeurs $u_{10} = 30$ et $u_{16} = 21$ ce qui donne le système suivant
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\begin{eqnarray*}
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\left\{ \begin{array}{ccc}
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u_0 + 10 r &=& 30\\
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u_0 + 16 r &=& 21
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\end{array}
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\right.
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&\equiv&
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\left\{ \begin{array}{ccc}
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u_0 &=& 30 - 10r \\
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(30 - 10r) + 16 r &=& 21
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\end{array}
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\right.
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\\
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&\equiv&
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\left\{ \begin{array}{ccc}
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u_0 &=& 30 - 10r \\
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6 r &=& -9
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\end{array}
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\right.
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\\
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&\equiv&
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\left\{ \begin{array}{ccc}
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u_0 &=& 30 - 10r \\
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r &=& \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2}
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\end{array}
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\right.
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\\
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&\equiv&
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\left\{ \begin{array}{ccc}
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u_0 &=& 30 - 10\frac{-3}{2} = 30 + 5\times3 = 45 \\
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r &=& \frac{-3}{2}
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\end{array}
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\right.
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\end{eqnarray*}
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Donc la raison est $r = \frac{-3}{2}$ et le premier terme $u_0 = 45$. On en déduit l'expression explicite
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\begin{eqnarray*}
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u_n = 45 - \frac{3}{2}n
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\end{eqnarray*}
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\item On cherche $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ on ait
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\begin{eqnarray*}
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u_n \leq -1000 &\equiv& 45 - \frac{3}{2}n \leq -1000 \\
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&\equiv& \frac{-3}{2} n \leq -1045 \\
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&\equiv& n \geq \frac{2}{3} 1045 \approx 696.6 \\
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\end{eqnarray*}
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On choisit donc $n_0 = 697$ on a ainsi pour tout $n \geq 697$, $u_n \leq -1000$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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On définit la suite $u$ par $u_0 = 1$ et pour tout $n$, $u_{n+1} = 2u_n + n + 1$.
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\begin{enumerate}
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\item Calcul des premiers termes
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\begin{eqnarray*}
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u_0 &=& 1 \\
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u_1 &=& 2u_0 + 0 + 1 = 2 + 1 = 3 \\
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u_2 &=& 2u_1 + 1 + 1 = 8 \\
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u_3 &=& 2u_2 + 2 + 1 = 19
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\end{eqnarray*}
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$u$ n'est pas arithmétique car dans la relation de récurrence on multiplie $u_n$ par 2. Elle n'est pas non plus géométrique car on ajoute $n+1$ dans la relation de récurrence.
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\item Calcul des premiers termes de $v$
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\begin{eqnarray*}
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v_0 &=& u_0 + 0 + 2 = 3 \\
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v_1 &=& u_1 + 1 + 2 = 3 + 1 + 2 = 6 \\
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v_2 &=& u_2 + 2 + 2 = 12 \\
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v_3 &=& u_3 + 3 + 2 = 24
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\end{eqnarray*}
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\item Démontrons que $v_{n+1} = 2v_n$
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\begin{eqnarray*}
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v_{n+1} &=& u_{n+1} + (n+1) + 2 \\
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&=& 2u_n + n + 1 + n + 1 + 2 \\
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&=& 2u_n + 2n + 2\times 2 \\
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&=& 2 (u_n + n + 2) \\
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&=& 2v_n
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\end{eqnarray*}
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\item D'après les questions précédentes, on en déduit que $v$ est géométrique de raison 2 et de premier terme $v_0 = 3$. On en déduit l'expression explicite
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\begin{eqnarray*}
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v_n = 3\times 2^n
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\end{eqnarray*}
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\item On sait que $u_n = v_n - n -2$ donc
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\begin{eqnarray*}
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u_n = 3\times 2^n - n -2
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\end{eqnarray*}
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\item Sens de variation de $u$
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\begin{eqnarray*}
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u_{n+1} - u_n &=& 3\times2^{n+1} - (n+1) -2 - 3\times 2^n + n + 2 \\
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&=& 3\times 2^n \left( 2 - 1 \right) -1 \\
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&=& 3\times 2^n - 1
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\end{eqnarray*}
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Or comme $n$ est un entier naturel (donc positif), $3\times 2^n \geq 3 \geq 1$ donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$ donc $u$ est une suite croissante.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item On remarque que l'évolution de l'année suivant augmente en proportion par rapport au loyer de l'année précédente. Autrement dit on a la relation de récurrence suivante
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\begin{eqnarray*}
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u_{n+1} = u_n + \frac{4}{100} u_n = 1.04 \times u_n
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\end{eqnarray*}
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La suite $u$ est donc géométrique de raison 1.04 et de premier terme $u_0 = 4000$. Ce n'était pas demandé mais on peut en déduire l'expression explicite de $u$
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\begin{eqnarray*}
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u_n = 4000 \times 1.04^n
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\end{eqnarray*}
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\item Loyer au bout de 5 ans
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\begin{eqnarray*}
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u_4 = 4000 \times 1.04^4 = 4679.43
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\end{eqnarray*}
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Au bout de 5 ans, le loyer sera de 4679.43\euro{}.
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\item Dépense totale au bout de 5 ans
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\begin{eqnarray*}
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u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = u_0 \frac{1 - q^5}{1-q} = 4000 \frac{1-1.04^5}{-0.04} = 21 665
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\end{eqnarray*}
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Dépense totale au bout de 10ans
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\begin{eqnarray*}
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u_0 + u_1 + \cdots + u_10 = u_0 \frac{1 - q^{11}}{1-q} = 4000 \frac{1-1.04^{11}}{-0.04} = 53 945
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\end{eqnarray*}
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\item D'après la définition de $T$, on a
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\begin{eqnarray*}
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T_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = 4000 \frac{1 - 1.04^{n+1}}{1 - 1.04}
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\end{eqnarray*}
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\item On cherche au bout de combien de temps Bob aura payé plus que le prix de la maison:
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\begin{eqnarray*}
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T( 0 ) &=& 4000.0 \\
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T( 1 ) &=& 8160.0 \\
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T( 2 ) &=& 12486.4 \\
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T( 3 ) &=& 16985.86 \\
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T( 4 ) &=& 21665.29 \\
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T( 5 ) &=& 26531.9 \\
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T( 6 ) &=& 31593.18 \\
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T( 7 ) &=& 36856.91 \\
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T( 8 ) &=& 42331.18 \\
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T( 9 ) &=& 48024.43 \\
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T( 10 ) &=& 53945.41 \\
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T( 11 ) &=& 60103.22 \\
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T( 12 ) &=& 66507.35 \\
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T( 13 ) &=& 73167.64 \\
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T( 14 ) &=& 80094.35 \\
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T( 15 ) &=& 87298.12 \\
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T( 16 ) &=& 94790.05 \\
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T( 17 ) &=& 102581.65 \\
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T( 18 ) &=& 110684.92 \\
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T( 19 ) &=& 119112.31 \\
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T( 20 ) &=& 127876.81 \\
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T( 21 ) &=& 136991.88 \\
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T( 22 ) &=& 146471.55 \\
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T( 23 ) &=& 156330.42 \geq 150 000\\
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\end{eqnarray*}
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Donc au bout de la 24-ième année, il aura dépensé plus que le prix de la maison.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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