2012-2013/2nd/DS/DS_130602/DS_corr.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}

% Title Page
\title{Devoir surveillé: Trigonométrie Correction}
\author{}
\date{2 juin 2013}

\fancyhead[L]{$2^{\mbox{nd}}12$ : \Thetitle}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}


\begin{Exo}
		\begin{enumerate}[1.]
				\item Pour convertir les angles de degré vers radian, on utilise le tableau de proportionnalité suivant
						\begin{center}
								\begin{tabular}[h]{|c|c|c|}
										\hline
										Degré & 180 & $\alpha$ \\ \hline
										Radian & $\pi$ & $\beta$ \\ \hline
								\end{tabular}
						\end{center}
						\begin{enumerate}[a)]
								\item Convertissons 10\degree en radian
										\begin{eqnarray*}
												\frac{10 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{18}
										\end{eqnarray*}
								\item Convertissons $\frac{720}{7}$\degree en radian
										\begin{eqnarray*}
												\frac{\frac{720}{7} \times \pi}{180} = \frac{720}{7 \times 180} \pi = \frac{4}{7}\pi
										\end{eqnarray*}
								\item Convertissons 600\degree en radian
										\begin{eqnarray*}
												\frac{600 \times \pi}{180} = \frac{10}{3}\pi
										\end{eqnarray*}
						\end{enumerate}
				\item Plaçons les points sur le cercle 
						\begin{enumerate}
								\item Pour placer $a$, on convertit $\frac{2\pi}{7}$ en degré
										\begin{eqnarray*}
												\frac{\frac{2\pi}{7} \times 180}{\pi} = \frac{360}{7} \approx 51\degree
										\end{eqnarray*}
								\item 
										\begin{eqnarray*}
												\frac{-45\pi}{6} = \frac{-42 - 3}{6}\pi = \frac{-42}{6} \pi + \frac{-3}{6}\pi = -7\pi - \frac{1}{2} \pi
										\end{eqnarray*}
										$-8\pi$ correspond à 4 tours dans le sens indirect.
								\item 
										\begin{eqnarray*}
												\frac{18\pi}{5} = \frac{15 + 3}{5}\pi = 3\pi + \frac{3}{5}\pi
										\end{eqnarray*}
										$3\pi$ correspond à un tour et demi. Il reste à convertir $\frac{3}{5}\pi$en degré pour pouvoir placer $c$
										\begin{eqnarray*}
												\frac{\frac{3}{5}\pi\times 180}{\pi} = 108\degree
										\end{eqnarray*}
										\begin{center}
												\includegraphics{fig/exo1_2}
										\end{center}
						\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
\end{Exo}

\begin{Exo}
		\begin{enumerate}
				\item Pour résoudre l'équation $\cos(x) = \frac{-1}{2}$ avec $x \in \intFF{0}{\pi}$. On commence par surligner sur le cercle trigonométrique l'intervalle $\intFF{0}{\pi}$.
					\begin{center}
							\includegraphics{fig/exo2_1surlign}
					\end{center}
					Ensuite on repère sur l'axe des abscisses la valeur $\frac{-1}{2}$ et on identifie notre angle
					\begin{center}
							\includegraphics{fig/exo2_1repere}
					\end{center}
				On en déduit donc que la solution de l'équation est $x = \frac{2\pi}{3}$.

		\item Pour résoudre l'équation $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ avec $x \in \intFF{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$. On commence par surligner sur le cercle trigonométrique l'intervalle $\intFF{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$.
						\begin{center}
								\includegraphics{fig/exo2_2surlign}
						\end{center}
						Pour placer la valeur $\frac{\sqrt{2}}{2}$, on sait que cette valeur correspond à un angle $\frac{\pi}{4}$, donc on peut trouver $\frac{\sqrt{2}}{2}$
						\begin{center}
								\includegraphics{fig/exo2_2valeur}
						\end{center}
						On peut alors repérer l'angle solution
						\begin{center}
								\includegraphics{fig/exo2_2repere}
						\end{center}
				On en déduit donc que la solution de l'équation est $x = \frac{3\pi}{4}$.


		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		\begin{enumerate}
				\item On peut calculer qu'un angle $\frac{2\pi}{3}$ correspond à un angle de 120\degree. On peut alors placer les points sur le cercle trigonométrique.
						\begin{center}
								\includegraphics{fig/exo3_fig}
						\end{center}
						Le triangle $ABC$ est un triangle équilatérale car \note{TODO}
				\item La hauteur du triangle est $[AE]$. On peut mesurer sa longueur en le découpant en 
						\begin{eqnarray*}
								AE = AO + OE = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
						\end{eqnarray*}
						Donc AE mesure $\frac{3}{2}$.
			 	\item Calcul de la distance BC. Pour cela, nous avons besoin des distances $BE$ et $EC$ (qui sont les mêmes). On constate que 
			 			\begin{eqnarray*}
			 					BE = EC = \sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
			 			\end{eqnarray*}
			 			Donc
			 			\begin{eqnarray*}
								BC = BE + EC = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
			 			\end{eqnarray*}
			 	\item On en déduit l'aire du triangle $ABC$
			 			\begin{eqnarray*}
								\mathcal{A}_{ABC} = \frac{\mbox{base}\times \mbox{hauteur}}{2} = \frac{BC \times AE}{2} = \frac{\frac{3}{2} \times \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
			 			\end{eqnarray*}
			 	\item Comme le triangle $ABC$ est équilatérale on en déduit le périmètre
			 			\begin{eqnarray*}
			 					\mathcal{P}_{ABC} = 3\times BC = 3\sqrt{3}	
			 			\end{eqnarray*}

		\end{enumerate}
		
\end{Exo}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: