2012-2013/1S/Geometrie/angles/Exo/162p186.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}


% Title Page
\title{Correction du 162p186}
\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle

\begin{enumerate}[A.]
    \item 
        \begin{enumerate}[1.]
            \item Comme $A$ et $M$ sont sur le cercle $\Gamma$ de centre $O$, $AO = OM$ donc le triangle $AOM$ est isocèle en $O$. De même $MOB$ est isocèle en O. On en déduit que 
                \begin{eqnarray*}
                    (\vec{MO},\vec{MA}) = (\vec{AM},\vec{AO})\\
                    (\vec{MO},\vec{MB}) = (\vec{BM},\vec{BO})
                \end{eqnarray*}

            \item 
                \begin{enumerate}[a.]
                    \item Comme la somme des angles d'un triangle vaut $\pi$. Dans le triangle $AOM$, on a
                        \begin{eqnarray*}
                            (\vec{MO},\vec{MA}) + (\vec{OA},\vec{OM}) + (\vec{AM},\vec{AO}) &=& \pi + k\times 2\pi\\
                            (\vec{MO},\vec{MA}) + (\vec{OA},\vec{OM}) + (\vec{MO},\vec{MA}) &=& \pi + k\times 2\pi\\
                            2(\vec{MO},\vec{MA}) + (\vec{OA},\vec{OM})&=& \pi + k\times 2\pi\\
                            2(\vec{MA},\vec{MO}) + (\vec{OM},\vec{OA})&=& \pi + k\times 2\pi
                        \end{eqnarray*}
                    \item De même dans le triangle $MOB$ on a 
                        \begin{eqnarray*}
                            2(\vec{MO},\vec{MB}) + (\vec{OB},\vec{OM})&=& \pi + k\times 2\pi
                        \end{eqnarray*}
                    \item Utilisons la relation de Chasles avec les angles pour démontrer l'égalité.
                        \begin{eqnarray*}
                            (\vec{OA},\vec{OB}) &=& (\vec{OA},\vec{OM}) + (\vec{OM},\vec{OB})\\
                            &&\mbox{On remplace en utilisant les égalités d'avant}\\
                            &=& -2(\vec{MO},\vec{MA}) + \pi + k_1\times 2\pi + 2(\vec{MO},\vec{MB}) - \pi +k_2\times 2\pi\\
                            &=& 2\left( (\vec{MA},\vec{MO}) + (\vec{MO},\vec{MB} \right) + (k_1+k_2) \times 2\pi\\
                            \mbox{Par la relation de Chasles}&=& 2(\vec{MA},\vec{MB}) + k\times 2\pi
                        \end{eqnarray*}
                        On a donc
                        \begin{eqnarray*}
                            (\vec{OA}, \vec{OB}) = 2(\vec{MA},\vec{MB}) + k\times 2\pi
                        \end{eqnarray*}
                \end{enumerate}
            \item Soit $N$ un autre point du cercle $\Gamma$ distinct de $A$ et $B$. Par les questions précédentes on a aussi
                \begin{eqnarray*}
                    (\vec{OA}, \vec{OB}) = 2(\vec{NA},\vec{NB}) + k\times 2\pi
                \end{eqnarray*}
                Donc on en déduit que 
                \begin{eqnarray*}
                    2(\vec{MA}, \vec{MB}) = 2(\vec{NA},\vec{NB}) + k\times 2\pi
                \end{eqnarray*}
        \end{enumerate}
    \item 
        \begin{enumerate}[1.]
            \item Montrons que $C$, $Q$, $R$ et $M$ sont cocycliques c'est à dire qu'ils sont sur un même cercle.\\

                Comme $Q$ est le projeté de $M$ sur $(AC)$, le triangle $MQC$ est rectangle en $Q$ donc $Q$ est sur le cercle de diamètre $[CM]$. De même, $R$ est le projeté de $M$ sur $(CB)$ donc $R$ est sur le cercle de diamètre $[CM]$. Or il n'y a qu'un seul cercle de diamètre $[CM]$, donc $C$, $Q$, $R$ et $M$ sont sur un même cercle.\\

                On se retrouve dans la configuration de la partie $A.$ avec $\Gamma$ le cercle de de diamètre $[CM]$ et $C$, $Q$, $R$ et $M$ 4 points de ce cercle. On en déduit donc que 
                \begin{eqnarray*}
                    2(\vec{RM}, \vec{RQ}) = 2(\vec{CM},\vec{CQ}) + k\times 2\pi
                \end{eqnarray*}

            \item De la même façon que dans la question précédente, on a que les 4 points sont cocycliques et donc on a la relation suivante
                \begin{eqnarray*}
                    2(\vec{RM}, \vec{RP}) = 2(\vec{AM},\vec{AP}) + k\times 2\pi
                \end{eqnarray*}

            \item Par construction, $A$, $B$, $C$ et $M$ sont sur le cercle $\mathcal{C}$ donc on en déduit par $A.$ la relation suivante
                \begin{eqnarray*}
                    2(\vec{AB}, \vec{AM}) = 2(\vec{CB},\vec{CM}) + k\times 2\pi
                \end{eqnarray*}

            \item Calculons  $(\vec{RP}, \vec{RQ})$.
                \begin{eqnarray*}
                    (\vec{RP}, \vec{RQ}) &=& (\vec{RP}, \vec{RM}) + (\vec{RM},\vec{RQ}) \\
                    \mbox{Par les questions précedentes} &=& -(\vec{AM}, \vec{AP})+(\vec{CM}, \vec{CQ}) + k\pi\\
                    \mbox{Par la relation de Chasles} &=& -(\vec{AM}, \vec{AB}) - (\vec{AB}, \vec{AP}) \\
                    && (\vec{CM},\vec{CB}) + (\vec{CB}, \vec{CQ}) + k\pi \\
                    \mbox{Or $A$, $P$ et $B$ sont alignés} && \mbox{De même pour $B$, $C$ et $Q$}\\
                    &=& -(\vec{CM}, \vec{CB}) + (\vec{AM}, \vec{AB}) + k\pi\\
                    \mbox{Par la question 3.}&=& k'\pi
                \end{eqnarray*}
                Donc les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés.


        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

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