Import TD_maple

TD_maple/test_primalité/test_primalité.py

@@ -0,0 +1,59 @@
+#!/usr/bin/env python
+#-*- coding:utf8-*-
+
+# ------------------------------
+# Imports
+# ------------------------------ 
+
+# ------------------------------
+# Classes
+# ------------------------------ 
+
+# ------------------------------
+# Fonctions
+# ------------------------------ 
+
+def estPremier(n):
+    """ estPremier
+    
+    Test si le nombre est un nombre premier
+    
+    """
+    if n == 2:
+        return True
+    elif n <= 1:
+        return False
+    elif n % 2:
+        return False
+
+    i = 3
+    print("ici")
+    while (i*i<=n) & (n%i != 0):
+        i = i+2
+        print("la " + str(i))
+
+    if n%i ==0 :
+        return False
+    else:
+        return True
+
+
+
+# ------------------------------
+# Bloc principal
+# ------------------------------
+
+if __name__ == '__main__':
+    for i in range(30):
+        print("{i}, {prems}".format(i = i, prems = estPremier(i)))
+
+
+# ------------------------------
+# Fin du programme
+# ------------------------------
+
+# -----------------------------
+# Reglages pour 'vim'
+# vim:set autoindent expandtab tabstop=4 shiftwidth=4:
+# cursor: 16 del 
+

TD_maple/test_primalité/test_primalité.tex

@@ -0,0 +1,109 @@
+\documentclass[10pt,a4paper]{article}
+\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/TD_maple/2012_2013/style}
+
+\title{Tests de primalité}
+\author{}
+\date{}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{fancy}
+Le but de cet exercice est de comprendre comment tester la primalité
+d'un entier. Avant de s'attaquer au problème, on lira attentivement la
+page d'aide «mod (modulo)» de Maple» et on s'attachera à comprendre ce
+que fait l'expression \verb|i &^ n mod m| qui y est décrite.
+
+\begin{enumerate}
+\item Étudier le programme suivant et comprendre ce qu'il est censé
+  faire et pourquoi il est incorrect. Le corriger.
+\begin{verbatim}
+  estpremier := proc(n)
+    local i;
+    if n=2 then return true; fi;
+    if n<=1 then return false; fi;
+    if irem(n,2) = 0 then return false; fi;
+    i := 3;
+    while i*i < n and irem(n,i) <> 0 do
+      # ici n n'est pas divisible par i ni par aucun nombre impair
+      # inférieur à i, ni par deux.
+      # on essaie le suivant
+      i := i + 2;
+    od;
+    if i*i < n then return false; else return true; fi;
+  end;
+\end{verbatim}
+\item Essayez de trouver un entier premier $n$ aussi grand que
+  possible de façon à ce que Maple mette moins de 10s à tester sa
+  primalité avec le programme corrigé.
+\item Le but est de trouver une méthode plus efficace pour tester la
+  primalité d'un entier. On s'intéressera ici au test de Fermat.
+  Soit $n$ un entier. On sait que si $n$ est premier, alors pour tout
+  entier $a\in ]0,n[$, on a $a^{n-1} \equiv 1 [n]$.
+  Donc par contraposée, si $a^{n-1}\not\equiv 1 [n]$, alors $n$ n'est
+  pas premier. On dit alors que $a$ est un témoin de non-primalité du
+  test de Fermat pour $n$. Si $a^{n-1}\equiv 1 [n]$ mais que $n$ n'est
+  pas premier, on dit que $n$ est un pseudo-premier de Fermat de base
+  $a$.
+
+  Y a t-il des entiers compris entre 1 et 1000 qui soient des
+  pseudo-premiers de Fermat de base $2$ (on les appelle aussi nombres
+  de Poulet)~? Lesquels ?
+
+  Y a t-il des entiers $n$ compris entre 1 et 1000 qui soient des
+  pseudo-premiers de Fermat de base $a$ pour tout $a$~? Pour presque
+  tous~?
+\item Le logiciel de chiffrement PGP utilise des tests de Fermat (avec
+  les bases 2,  3, 5 et 7) pour  trouver un nombre premier.\footnote{Le
+    risque  de  choisir  accidentellement  un nombre  non-premier  est
+    apparemment  très faible pour  les plages  de nombres  testées par
+    PGP.}  Essayez d'avoir une idée  de la taille du plus grand nombre
+  que vous puissiez trouver avec ce test de façon à ce que Maple mette
+  moins de 10s à tester la primalité d'un entier. Jusqu'à combien
+  pouvez-vous aller ?
+\item On propose maintenant un autre test, appelé test de
+  Miller-Rabin.
+  Il fonctionne de la façon suivante. Pour tester si un entier $n$ est
+  premier, on commence par écrire $n-1$ sous la forme $2^{s} \times
+  m$, où $m$ est impair.
+  Soit $a\in \ii{1,n-1}$.
+  Le test repose sur le résultat suivant~: si $n$ est
+  premier, alors ou bien $a^{m}\equiv 1[n]$, ou bien il existe
+  $d\in\ii{0,s-1}$ vérifiant $a^{2^d.m}\equiv -1[n]$. On peut démontrer ce
+  résultat en utilisant le petit théorème de Fermat, le fait que si
+  $n$ est premier $\Z/n\Z$ est un corps et le fait que dans tout
+  anneau intègre, l'équation $x^{2} = 1$ a
+  au plus deux solutions%
+  \footnote{Dans certains anneaux intègres, il n'y en a qu'une,
+    par exemple dans $\Z/2\Z$, où $-1=1$.}
+  ($1$ et $-1$).
+
+  On dira que $a$ est un menteur fort s'il vérifie les conditions
+  ci-dessus et que $n$ n'est pas premier.
+  
+  On peut montrer qu'au plus un quart des valeurs de $\ii{1,n-1}$ sont
+  des menteurs forts.\footnote{Voir sur Wikipédia en anglais l'article
+    \textit{Miller–Rabin primality test} et notamment  Schoof, René, \textit{Four primality testing algorithms},
+  Algorithmic Number Theory: Lattices, Number Fields,
+  Curves and Cryptography, Cambridge University Press,
+  ISBN 0521808545, \url{http://tinyurl.com/schoof-miller-rabin}.}
+  Le  test de  Miller-Rabin s'effectue  donc en  pratique de  la façon
+  suivante~: prendre  une valeur $a$  au hasard comprise entre  $1$ et
+  $n-1$ et effectuer le test avec cette base $a$. Si $a$ respecte
+  les conditions données ci-dessus, $n$ est probablement premier, dans
+  ce cas, on recommence avec un nouveau $a$ pris au hasard. Si au bout
+  de $40$ essais, on n'a pas trouvé de $a$ violant les conditions
+  données plus haut, on considérera que le nombre donné était premier.
+
+  Pour effectuer le test aussi vite que possible, on calcule
+  $a^{m}$ dans $\Z/n\Z$ et on effectue ensuite des mises au carré
+  successives pour calculer $a^{2 m}$, $a^{4 m}$,\ldots{},$a^{2^{s-1}
+    m}$. De plus, on n'est pas obligé de calculer toutes ces valeurs~:
+  on s'arrête dès le début si $a^{m}\equiv 1[n]$, on s'arrête
+  également dès qu'on trouve la valeur $-1$, et enfin on peut aussi
+  s'arrêter si l'on trouve la valeur $1$ (pourquoi ?).
+
+  Mettre en œuvre ce test pour vérifier si les grands nombres que vous
+  avez trouvés avec le test de Fermat sont bien premiers.
+\end{enumerate}
+
+\end{document}