\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}

% Title Page
\title{Devoir surveillé: Suites}
\author{}
\date{5 juin 2013}

\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S7 : \Thetitle}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}


\begin{Exo}
		\begin{enumerate}
				\item Soit $v$ la suite définit de la manière suivante: $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = -1 v_{n}$. La suite $v$ est
						\medskip
						\begin{center}
								a) Croissante \quad b) Décroissante \quad c) \colorbox{green}{ni l'un ni l'autre}
						\end{center}
						En effet, on reconnait que $v$ est une suite géométrique de raison -1 donc négative. Ainsi $v$ prendre alternativement des valeurs positives et négatives. Elle est donc ni croissante ni décroissante.
				\item Soit $w$ la suite définit de la manière suivante: $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$ $u_{n+1} = \frac{n-3}{2} + \frac{3}{2}$. La suite $w$ est
						\medskip
						\begin{center}
								a) \colorbox{green}{arithmétique de raison $\frac{1}{2}$} \quad b) arithmétique de raison $\frac{-3}{2}$ \quad c) géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
						\end{center}
						En effet, si on simplifie l'expression de $u$, on obtient
						\begin{eqnarray*}
								u_{n+1} = \frac{n}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = \frac{n}{2}
						\end{eqnarray*}
						Donc
						\begin{eqnarray*}
								u_{n} = \frac{n-1}{2} = \frac{n}{2} - \frac{1}{2}
						\end{eqnarray*}
						On reconnait l'expression explicite d'une suite arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $u_0 = -\frac{1}{2}$.
				\item La somme des puissances de 2 de $2^0$ à $2^{11}$ (c'est à dire $2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{11}$) est égale à 
						\medskip
						\begin{center}
								a) $2^{11} - 1$ \quad b) $1 - 2^{12}$ \quad c) \colorbox{green}{ni l'un ni l'autre}
						\end{center}
						En effet, si on pose $u_n = 2^n$ on a une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $u_0 = 1$. Donc d'après la formule de sommation on a
						\begin{eqnarray*}
								2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{11} = u_0 + u_1 + \cdots + u_{11} = u_0 \frac{1 - q^{11+1}}{1 - q} = \frac{1 - 2^{12}}{1 - 2} = 2^{12} - 1 
						\end{eqnarray*}
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		\begin{enumerate}
				\item Pour déterminer la relation explicite de $u$, comme on sait qu'elle est arithmétique, il faut d'abord déterminer sa raison $r$ et son premier terme $u_0$. Pour cela nous avons deux valeurs $u_{10} = 30$ et $u_{16} = 21$ ce qui donne le système suivant
						\begin{eqnarray*}
								\left\{ \begin{array}{ccc} 
										u_0 + 10 r &=& 30\\
										u_0 + 16 r &=& 21
								\end{array}
										\right.
										&\equiv&
								\left\{ \begin{array}{ccc} 
										u_0 &=& 30 - 10r \\
										(30 - 10r) + 16 r &=& 21
								\end{array}
										\right.
										\\
										&\equiv&
								\left\{ \begin{array}{ccc} 
										u_0 &=& 30 - 10r \\
										6 r &=& -9 
								\end{array}
										\right.
										\\
										&\equiv&
								\left\{ \begin{array}{ccc} 
										u_0 &=& 30 - 10r \\
										r &=& \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} 
								\end{array}
										\right.
										\\
										&\equiv&
								\left\{ \begin{array}{ccc} 
										u_0 &=& 30 - 10\frac{-3}{2} = 30 + 5\times3 = 45  \\
										r &=& \frac{-3}{2} 
								\end{array}
										\right.
						\end{eqnarray*}
						Donc la raison est $r = \frac{-3}{2}$ et le premier terme $u_0 = 45$. On en déduit l'expression explicite
						\begin{eqnarray*}
								u_n = 45 - \frac{3}{2}n
						\end{eqnarray*}
				\item On cherche $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ on ait 
						\begin{eqnarray*}
								u_n \leq -1000 &\equiv& 45 - \frac{3}{2}n \leq -1000 \\
								&\equiv& \frac{-3}{2} n \leq -1045 \\
								&\equiv& n \geq \frac{2}{3} 1045 \approx 696.6 \\
						\end{eqnarray*}
						On choisit donc $n_0 = 697$ on a ainsi pour tout $n \geq 697$, $u_n \leq -1000$.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		On définit la suite $u$ par $u_0 = 1$ et pour tout $n$, $u_{n+1} = 2u_n + n + 1$.
		\begin{enumerate}
				\item Calcul des premiers termes
						\begin{eqnarray*}
								u_0 &=& 1 \\
								u_1 &=& 2u_0 + 0 + 1 = 2 + 1 = 3 \\
								u_2 &=& 2u_1 + 1 + 1 = 8 \\
								u_3 &=& 2u_2 + 2 + 1 = 19
						\end{eqnarray*}
						$u$ n'est pas arithmétique car dans la relation de récurrence on multiplie $u_n$ par 2. Elle n'est pas non plus géométrique car on ajoute $n+1$ dans la relation de récurrence.
				\item Calcul des premiers termes de $v$
						\begin{eqnarray*}
								v_0 &=& u_0 + 0 + 2 = 3 \\
								v_1 &=& u_1 + 1 + 2 = 3 + 1 + 2 = 6 \\
								v_2 &=& u_2 + 2 + 2 = 12 \\
								v_3 &=& u_3 + 3 + 2 = 24
						\end{eqnarray*}
				\item Démontrons que $v_{n+1} = 2v_n$
						\begin{eqnarray*}
								v_{n+1} &=& u_{n+1} + (n+1) + 2 \\
								&=& 2u_n + n + 1 + n + 1 + 2 \\
								&=& 2u_n + 2n + 2\times 2 \\
								&=& 2 (u_n + n + 2) \\
								&=& 2v_n
						\end{eqnarray*}
				\item D'après les questions précédentes, on en déduit que $v$ est géométrique de raison 2 et de premier terme $v_0 = 3$. On en déduit l'expression explicite
						\begin{eqnarray*}
								v_n = 3\times 2^n
						\end{eqnarray*}
				\item On sait que $u_n = v_n - n -2$ donc 
						\begin{eqnarray*}
								u_n = 3\times 2^n - n -2
						\end{eqnarray*}
				\item Sens de variation de $u$
						\begin{eqnarray*}
								u_{n+1} - u_n &=& 3\times2^{n+1} - (n+1) -2 - 3\times 2^n + n + 2 \\
								&=& 3\times 2^n \left( 2 - 1 \right) -1 \\
								&=& 3\times 2^n - 1
						\end{eqnarray*}
						Or comme $n$ est un entier naturel (donc positif), $3\times 2^n \geq 3 \geq 1$ donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$ donc $u$ est une suite croissante.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		\begin{enumerate}
				\item On remarque que l'évolution de l'année suivant augmente en proportion par rapport au loyer de l'année précédente. Autrement dit on a la relation de récurrence suivante
						\begin{eqnarray*}
								u_{n+1} = u_n + \frac{4}{100} u_n = 1.04 \times u_n
						\end{eqnarray*}
						La suite $u$ est donc géométrique de raison 1.04 et de premier terme $u_0 = 4000$. Ce n'était pas demandé mais on peut en déduire l'expression explicite de $u$
						\begin{eqnarray*}
								u_n = 4000 \times 1.04^n
						\end{eqnarray*}

				\item Loyer au bout de 5 ans
						\begin{eqnarray*}
								u_4 = 4000 \times 1.04^4 = 4679.43
						\end{eqnarray*}
						Au bout de 5 ans, le loyer sera de 4679.43\euro{}.
				\item Dépense totale au bout de 5 ans
						\begin{eqnarray*}
								u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = u_0 \frac{1 - q^5}{1-q} = 4000 \frac{1-1.04^5}{-0.04} = 21 665
						\end{eqnarray*}
						Dépense totale au bout de 10ans
						\begin{eqnarray*}
								u_0 + u_1 + \cdots + u_10 = u_0 \frac{1 - q^{11}}{1-q} = 4000 \frac{1-1.04^{11}}{-0.04} = 53 945
						\end{eqnarray*}
				\item D'après la définition de $T$, on a 
						\begin{eqnarray*}
								T_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = 4000 \frac{1 - 1.04^{n+1}}{1 - 1.04}
						\end{eqnarray*}
				\item On cherche au bout de combien de temps Bob aura payé plus que le prix de la maison:
						\begin{eqnarray*}
								T( 0 ) &=&  4000.0  \\
								T( 1 ) &=&  8160.0  \\
								T( 2 ) &=&  12486.4  \\
								T( 3 ) &=&  16985.86  \\
								T( 4 ) &=&  21665.29  \\
								T( 5 ) &=&  26531.9  \\
								T( 6 ) &=&  31593.18  \\
								T( 7 ) &=&  36856.91  \\
								T( 8 ) &=&  42331.18  \\
								T( 9 ) &=&  48024.43  \\
								T( 10 ) &=&  53945.41  \\
								T( 11 ) &=&  60103.22  \\
								T( 12 ) &=&  66507.35  \\
								T( 13 ) &=&  73167.64  \\
								T( 14 ) &=&  80094.35  \\
								T( 15 ) &=&  87298.12  \\
								T( 16 ) &=&  94790.05  \\
								T( 17 ) &=&  102581.65  \\
								T( 18 ) &=&  110684.92  \\
								T( 19 ) &=&  119112.31  \\
								T( 20 ) &=&  127876.81  \\
								T( 21 ) &=&  136991.88  \\
								T( 22 ) &=&  146471.55  \\
								T( 23 ) &=&  156330.42  \geq 150 000\\
						\end{eqnarray*}
						Donc au bout de la 24-ième année, il aura dépensé plus que le prix de la maison.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: