\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
\usepackage{variations}

% Title Page
\title{Correction du Devoir Maison 1}
\author{}
\date{1 janvier 2013}


\begin{document}
\maketitle

\begin{Exo}(19p98)
    \begin{enumerate}
        \item Résolution de l'équation $\frac{6}{5} = \frac{3+x}{2+x}$.
            \begin{eqnarray*}
                \frac{6}{5} = \frac{3+x}{2+x} &\equiv& \frac{6}{5}\times(2+x) = (2+x)\times \frac{(3+x)}{(2+x)} \\
                \mbox{On simplifie et on développe}&\equiv& \frac{6}{5} \times 2 + \frac{6}{5} x = 3+x\\
                \mbox{On met ce qui n'a pas de $x$ à gauche et le reste à droite}&\equiv& \frac{12}{5} -3 = -\frac{6}{5}x + x\\
                \mbox{On met les fractions sur le même dénominateur}&\equiv& \frac{12}{5} - \frac{3\times 5}{5} = -\frac{6}{5}x + \frac{5}{5}x\\
                &\equiv& \frac{-3}{5} = -\frac{1}{5}x\\
                \mbox{On divise par $\frac{1}{5}$}&\equiv& \frac{-3}{5} \times \frac{5}{1} = -x\\
                &\equiv& x =3 
            \end{eqnarray*}
            Donc la solution de l'équation est $3$.
        \item Quand on trace les graphiques de ces deux fonctions sur la calculatrice, on remarque que les graphiques s'intersectent en 1 point. L'abscisse de ce point est la solution de l'équation suivante
            \begin{eqnarray*}
                \frac{6}{5} = \frac{3+x}{2+x}
            \end{eqnarray*}

        \item Les coordonnées du point d'intersection est 
            \begin{eqnarray*}
                \left( 3\;;\;\frac{6}{5}\right)
            \end{eqnarray*}
    \end{enumerate}
    
\end{Exo}

\begin{Exo}(22p99)
    \begin{enumerate}
        \item Résolution de l'inéquation $\frac{3x+2}{x-5} \geq 0$.
            \paragraph{Domaine de définition.}

                Cherchons la valeur interdite (c'est-à-dire la valeur de $x$ tel que le dénominateur s'annule).
                \begin{eqnarray*}
                    x-5 = 0 &\equiv& x=5
                \end{eqnarray*}
                Donc 5 est une valeur interdite. Donc le domaine de définition de $x\mapsto \frac{3x+2}{x-5}$ est 
                \begin{eqnarray*}
                    D = ] -\infty\; , \; 5 [ \;\cup\;  ]5\;,\; +\infty[ 
                \end{eqnarray*}

                \paragraph{Signe du numérateur} Cherchons les valeurs de $x$ tel que le numérateur soit positif
                \begin{eqnarray*}
                    3x+2 \geq 0 &\equiv& 3x \geq -2\\
                    \mbox{3 est positif} &\equiv& x \geq \frac{-2}{3} = \frac{-1}{3}
                \end{eqnarray*}
                Donc le $3x+2$ est positif quand $x\geq \frac{-1}{3}$
                \paragraph{Signe du dénominateur} Cherchons les valeurs de $x$ tel que le dénominateur soit positif
                \begin{eqnarray*}
                    x-5 \geq 0 &\equiv& x\geq5
                \end{eqnarray*}
                Donc le $x-5$ est positif quand $x\geq 5$
                \paragraph{Tableau de signe}
                \begin{center}
                \begin{variations}
                    x               &   \mI &   &   \frac{-1}{3} &\quad&  &\quad&   5    &   &   \pI \\
                    \filet
                    3x+2            &    \ga-   &        \z      &\quad&+ &\quad&   \bb  &\dr+  &       \\
                    \filet
                    x-5             &    \ga-   &       \l       &\quad& - &\quad&   \bb  &\dr+  &       \\
                    \filet
                    \frac{3x+2}{x-5}&    \ga+ &       \z       &\quad&- &\quad&   \bb  &\dr+  &\\
                \end{variations}
                \end{center}
                \paragraph{On répond à la question!} La solution de $\frac{3x+2}{x-5}\geq0$ (Donc on prend les endroits où il y a des ``+''dans le tableau) est 
                \begin{eqnarray*}
                    \mathcal{S} = ]-\infty\;,-\frac{1}{3}\;]\;\cup\;]\;5\;,+\infty[
                \end{eqnarray*}

        \item Celui là ce fait de la la même manière que le précèdent (attention tout de même dans l'étude du signe du numérateur au $-7$!).

        \item Résolution de l'inéquation $\frac{3x+7}{3x+5} < 0$.
            \paragraph{Domaine de définition.}

                Cherchons la valeur interdite (c'est-à-dire la valeur de $x$ tel que le dénominateur s'annule).
                \begin{eqnarray*}
                    3x+5 = 0 &\equiv& 3x = -5 \\
                    &\equiv& x = \frac{-5}{3}
                \end{eqnarray*}
                Donc $\frac{-5}{3}$ est une valeur interdite. Donc le domaine de définition de $x\mapsto \frac{3x+7}{3x+5}$ est 
                \begin{eqnarray*}
                        D = ] -\infty\; , \; \frac{-5}{3} [ \;\cup\;  ]\frac{-5}{3}\;,\; +\infty[ 
                \end{eqnarray*}

                \paragraph{Signe du numérateur} Cherchons les valeurs de $x$ tel que le numérateur soit positif
                \begin{eqnarray*}
                    3x+7 \geq 0 &\equiv& 3x \geq -7\\
                    \mbox{3 est positif} &\equiv& x \geq \frac{-7}{3}
                \end{eqnarray*}
                Donc le $3x+7$ est positif quand $x\geq \frac{-7}{3}$

                \paragraph{Signe du dénominateur} Cherchons les valeurs de $x$ tel que le dénominateur soit positif
                \begin{eqnarray*}
                    3x+5 \geq 0 &\equiv& 3x\geq -5 \\
                    \mbox{3 est positif} &\equiv& x \geq \frac{-5}{3}
                \end{eqnarray*}
                Donc le $3x+5$ est positif quand $x\geq \frac{-5}{3}$

                \paragraph{Tableau de signe}
                \begin{center}
                \begin{variations}
                    x               &   \mI &   &   \frac{-7}{3} &\quad&  &\quad&   \frac{-5}{3}    &   &   \pI \\
                    \filet
                    3x+7            &    \ga-   &        \z      &\quad&+ &\quad&   \bb  &\dr+  &       \\
                    \filet
                    3x+5             &    \ga-   &       \l       &\quad& - &\quad&   \bb  &\dr+  &       \\
                    \filet
                    \frac{3x+2}{x-5}&    \ga+ &       \z       &\quad&- &\quad&   \bb  &\dr+  &\\
                \end{variations}
                \end{center}

                \paragraph{On répond à la question!} La solution de $\frac{3x+7}{3x+5}<0$ (Donc on prend les endroits où il y a des ``-'' dans le tableau) est 
                \begin{eqnarray*}
                    \mathcal{S} = ] \frac{-7}{3} \; , \; \frac{-5}{3} \; [
                \end{eqnarray*}
    \end{enumerate}
    
\end{Exo}

\begin{Exo}(55p104)
    \begin{enumerate}
        \item Résolution de l'équation
            \begin{eqnarray*}
                \frac{6x+1}{3x-2} = \frac{2x+5}{x+3} &\equiv& (x+3)(3x-2) \times \frac{(6x+1)}{(3x-2)} = (x+3)(3x-2) \times \frac{(2x+5)}{(x+3)}\\
                \mbox{On simplifie} &\equiv& (x+3)(6x+1) = (3x-2)(2x+5)\\
                \mbox{On développe} &\equiv& 6x\times x + 3\times6x + x + 3\times 1 = 3x\times 2x + 5\times 3x - 2\times 2x - 2\times 5\\
                &\equiv& 6x^2 + 19x + 3 = 6x^2 + 11x -10 \\
                \mbox{On range les éléments} &\equiv& 19x - 11x = -10 - 3 \\
                &\equiv& 8x = -13 \\
                &\equiv& x = \frac{-13}{8}
            \end{eqnarray*}
            Donc la solution peut être $\frac{-13}{8}$, il faut encore vérifier qu'elle n'annule pas un des deux dénominateurs.
            \begin{eqnarray*}
                3\times \frac{-13}{8} - 2 = \frac{-39}{8} - \frac{16}{8} = \frac{-55}{8} \neq 0 \\
                \frac{-13}{8} + 3 = \frac{-13}{8} + \frac{24}{8} = \frac{11}{8} \neq 0
            \end{eqnarray*}
            Donc comme $\frac{-13}{8}$ n'annule pas les dénominateurs, c'est la solution.
        \item On trace les deux courbes sur la calculette et on vérifie que le point d'intersection a pour abscisse $\frac{-13}{8}$.
        \item Résolution de l'équation
            \begin{eqnarray*}
                \frac{x}{x+1} = \frac{2x+5}{x-3} = &\equiv& (x+1)(x-3) \times  \frac{x}{x+1} = (x+1)(x-3) \times\frac{2x+5}{x-3}\\
                &\equiv& (x-3)x = (x+1)(2x-5)\\
                &\equiv& x^2 - 3x = 2x^2 + 2x - 5x -5 \\
                &\equiv& x^2 - 3x = 2x^2 - 3x - 5 \\
                &\equiv& 5 - x^2 = 0\\
                \mbox{ On reconnait une identité remarquable} &\equiv& (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}) = 0\\
                \mbox{2 cas possibles} &\equiv& x - \sqrt{5} = 0 \mbox{ ou }  x + \sqrt{5} = 0\\
                &\equiv& x = \sqrt{5} \mbox{ ou } x = -\sqrt{5}
            \end{eqnarray*}
            Il faut vérifier que ces deux solutions n'annulent pas les dénominateurs (à faire).

            Donc les solutions de l'équation sont $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$

            Si vous tracez les deux fonctions sur votre calculette, vous vous rendrez compte qu'il a deux points d'intersections d'abscisse $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$.
    \end{enumerate}
\end{Exo}


\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: