\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}

% Title Page
\title{Devoir Maison: Probabilité (Correction)}
\author{}
\date{13 Avril 2013}

\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{Exo}\exo{20p187}
		\begin{enumerate}[a)]
				\item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le tarif payé par un spectateur.

						On sait que $\left\{ X = 4 \right\} = \left\{ \mbox{le spectateur est un enfant de moins de 15ans} \right\}$ donc 
						\begin{eqnarray*}
							P(X=4) = \dfrac{3}{100} = 0.03	
						\end{eqnarray*}
						On peut faire la même chose pour les tarifs 8\euro{} et 10\euro{}.
						
						On sait que $\left\{ X = 7 \right\} = \left\{ \mbox{le spectateur est soit un étudiant soit un groupe} \right\}$ donc
						\begin{eqnarray*}
								P(X=7) = \dfrac{22}{100} + \dfrac{5}{100} = \dfrac{27}{100} = 0.27
						\end{eqnarray*}

						On obtient alors la loi de probabilité de $X$
						\begin{center}
						\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
								\hline
								$x_i$ & 4 & 7 & 8 & 10 \\ \hline
								$P(X = x_i)$ & 0.03 & 0.27 & 0.14 & 0.56 \\ \hline
						\end{tabular}
						\end{center}
				\item Calculons l'espérance de $X$.
						\begin{eqnarray*}
							E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\ 
								&=& 4 \times 0.03 + 7 \times 0.27 + 8 \times 0.14 + 10 \times 0.56\\ 
								&=& 8.73
						\end{eqnarray*}
						Le théâtre peut donc en moyenne espérer vendre chaque place à 8.73\euro{}.
				\item Calculons les recettes du théâtre:
						\begin{eqnarray*}
								\mbox{Recettes} = 2000 \times E[X] = 2000 \times 8.73 = 17460
						\end{eqnarray*}
						Or comme le théâtre a dépensé 20 000\euro{}, ils ont fait un bénéfice de $17460 - 20000 = -2540$\euro{}, ils ont donc perdu de l'argent. Ce théâtre n'est pas rentable pour la municipalité.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		Pour savoir si l'on a intérêt ou pas de jouer à un jeu, il faut calculer l'espérance des gains. On note $X$ la variable aléatoire comptant les gains.

		Comme la partie coûte 5\euro{}, voici le tableau des gains en fonction des numéros tirés
		\begin{center}
		\begin{tabular}[h]{|c|*{6}{c|}}
				\hline
				Numéros & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
				Gains 	& -5 & -5 & 5 & 15 & 15 & 45 \\ \hline
		\end{tabular}
		\end{center}

		Ainsi $X$ peut prendre les valeurs: -5, 5, 15 et 45.
		
		\begin{itemize}
				\item $\left\{ X = -5 \right\} = \left\{\mbox{On a tiré 1 ou 2}\right\}$ donc $P(X = -5) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$. On peut faire de même pour 15.
				\item $\left\{ X = 5 \right\} = \left\{ \mbox{On a tiré 3} \right\}$ donc $P(X=5) = \dfrac{1}{12}$. On peut faire de même pour 45.
		\end{itemize}
		On en déduit la loi de probabilité de $X$
		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
				\hline
			$x_i$ & -5 & 5 & 15 & 45 \\ \hline
			$P(X=x_i)$ & $\dfrac{5}{6} = 0.83$ & $\dfrac{1}{12} = 0.08$ & $\dfrac{3}{48} = 0.06$ & $\dfrac{1}{48}=0.02$ \\ \hline
		\end{tabular}
		\end{center}

		On peut maintenant calculer l'espérance de $X$
		\begin{eqnarray*}
				E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
				&=& -5 \times \frac{5}{6} + 5 \times \frac{1}{12} + 15 \times \frac{3}{48} + 45 \times \frac{1}{48} \\
					&=& -1.88
		\end{eqnarray*}
		On remarque que l'espérance est négative. Donc en moyenne nous allons perdre 1.88\euro{} par partie. Nous n'avons donc pas intérêt à jouer à ce jeu.
\end{Exo}

\begin{Exo}
		\begin{enumerate}
				\item Dans l'arbre suivant, on note $P$ l'évènement où l'on laisse la priorité et $\bar{P}$ celui où l'on ne la laisse pas.
						\begin{center}
								\includegraphics{fig/arbre31}
						\end{center}

						Comme le fait de laisser la priorité à un croisement est indépendant de ce qui c'est passé sur les autres croisements, la probabilité d'une feuille d'un arbre est égale au produit des probabilités des branches. On a donc
						\begin{itemize}
								\item Un temps d'attente de 20 secondes, correspond à laisser la priorité exactement deux fois donc aux issues entourées. On a donc
										\begin{eqnarray*}
												P(\mbox{Attendre 20sec}) = 6 \times 0.2\times 0.2 \times 0.8 \times 0.8 = 0.15
										\end{eqnarray*}
								\item Un temps d'attente de 30 secondes, correspond à laisser la priorité exactement 3 fois donc aux issues entourées d'un losange.
										\begin{eqnarray*}
												P(\mbox{Attendre 30sec}) = 4 \times 0.2\times 0.2 \times 0.2 \times 0.8 = 0.04
										\end{eqnarray*}

						\end{itemize}
		\end{enumerate}
\end{Exo}


\begin{Exo}
		\begin{enumerate}
				\item À chaque appel, le client peut soit attendre ($R$ avec probabilité 0.25) soit ne pas attendre ($\bar{R}$ avec probabilité 1-0.25 = 0.75). Le fait d'être mis en attente ou non est indépendant de ce qui s'est passé lors des autres appels. On peut donc faire un arbre pondéré et pour calculer la probabilité d'une feuille on calculera le produit des branches.

						Le nombre indiqué sous les branches est le nombre d'appels où il y a eu attente.
						\begin{center}
								\includegraphics{fig/arbre46}
						\end{center}
						On en déduit que $X$ peut prendre les valeurs suivantes: 0, 1, 2, 3 ou 4. Et on a 
						\begin{eqnarray*}
								P(X=0) &=& 0.75\times 0.75 \times 0.75 \times 0.75 = 0.316\\
								P(X=1) &=& 4 \times 0.75 \times 0.75 \times O.75 \times 0.25 = 0.422 \\
								P(X=2) &=& 6 \times 0.75 \times 0.75 \times O.25 \times 0.25 = 0.211 \\
								P(X=3) &=& 4 \times 0.75 \times 0.25 \times O.25 \times 0.25 = 0.047 \\
								P(X=4) &=& 0.25 \times 0.25 \times O.25 \times 0.25 = 0.004 \\
						\end{eqnarray*}
						D'où la loi de probabilité de $X$
						\begin{center}
								\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
										\hline
										$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
										$P(x_i)$ & 0.316 & 0.422 & 0.211 & 0.047 & 0.004 \\ \hline
								\end{tabular}
						\end{center}
				\item Calcul de l'espérance
						\begin{eqnarray*}
								E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\ 
								&=& 0 \times 0.316 + 1 \times 0.422 + 2 \times 0.211 + 3 \times 0.047 + 4 \times 0.004\\ 
								&=& 1.001
						\end{eqnarray*}
						Le client peut donc espérer attendre en moyenne une fois lors de ses 4 appels.
				\item L'évènement $A$ est constitué des évènements $\left\{ X = 1 \right\}$, $\left\{ X = 2 \right\}$, $\left\{ X = 3 \right\}$, $\left\{ X = 4 \right\}$ donc
						\begin{eqnarray*}
								P(A) = P(X=1) +P(X=2) +P(X=3) +P(X=4) = 0.422 + 0.211 + 0.047 + 0.004 = 0.684
						\end{eqnarray*}
					La probabilité qu'un client attende au moins une fois est de 0.684.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

