\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS} \usepackage{variations} % Title Page \title{Correction du Devoir Surveillé: Dérivation} \author{} \date{24 janvier 2013} \fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ES1 : \Thetitle} \begin{document} \maketitle \thispagestyle{fancy} \begin{Exo} \begin{enumerate}[a.] \item Dérivons $f(x) = \frac{1}{4-3x^2}$. On remarque que $f$ est de la forme $\frac{1}{v(x)}$ avec $v(x) = 4-3x^2$ donc $v'(x) = 0 - 3\times 2x = -6x$. On en déduit la dérivée \begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-v'(x)}{v(x)^2} = \frac{6x}{(4-3x^2)^2} \end{eqnarray*} \item Dérivons $f(x) = (5x^2 - 1)\sqrt{x}$. On remarque que $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 5x^2-1$ et $v(x) = \sqrt{x}$ donc $u'(x) = 5\times 2x + 0 = 10x$ et $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt(x)}$. On en déduit la dérivée \begin{eqnarray*} f'(x) = u(x)v'(x) + u'(x)v(x) &=& (5x^2 - 1)\frac{1}{2\sqrt{x}} + 10x \times \sqrt{x} \\ &=& \frac{5x^2 - 1}{2\sqrt{x}} + 10x\sqrt{x} \end{eqnarray*} \item Dérivons $f(x) = \frac{3-2x}{4x+1}$. On remarque que $f$ est de la forme $\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x) = 3-2x$ et $v(x) = 4x+1$ donc $u'(x) = 0-2 = -2$ et $v'(x) = 4$. On en déduit la dérivée \begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} & = & \frac{-2\times(4x+1) - 4\times(3-2x)}{(4x+1)^2} \\ &=& \frac{-8x - 2 - 12 + 8x}{(4x+1)^2}\\ &=& \frac{-14}{(4x+1)^2} \end{eqnarray*} \end{enumerate} \end{Exo} \begin{Exo} \begin{enumerate} \item Cherchons la dérivée de $f$. Tout d'abord, comme il n'y a pas de quotient ni de racine, le domaine de définition de $f$ est $\R$. \begin{eqnarray*} f'(x) & = & 3x^2 - 2\times2x+1+0\\ &=& 3x^2 - 4x+1 \end{eqnarray*} \item Étudions le signe de $f'$. Comme $f'$ est un polynôme de degré 2, on utilise la méthode du discriminant. \begin{eqnarray*} \Delta = b^2-4ac &=& (-4)^2 - 4\times 3\times1\\ &=& 16 - 12\\ &=& 4 \end{eqnarray*} $\Delta$ est positif, $f'$ a donc deux racines et est du signe de $a$ (positif) donc positif en dehors des racines. Cherchons les racines \begin{eqnarray*} x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2\times3} = \frac{4-2}{6} = \frac{1}{3}\\ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2\times3} = \frac{4+2}{6} = 1 \end{eqnarray*} On en déduit le tableau de signe \begin{center} \begin{variations} x & \mI & &\frac{1}{3} & & & 1 & & \pI \\ \filet f'(x) & \ga+ & \z & \ga- & \z & \dr+ \\ \end{variations} \end{center} \item Cherchons le sens de variation de $f$ sur $\left[ -2;2 \right]$ et complétons le tableau de variation. \begin{eqnarray*} f\left( \frac{1}{3} \right)&=& \left( \frac{1}{3} \right)^3 - 2\left( \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{3} + 7 \\ &=& \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 7 \\ &=& \frac{193}{27} \\ f(1) &=& 1 - 2 + 1 + 7\\ &=& 7 \end{eqnarray*} \begin{center} \begin{variations} x & -2 & &\frac{1}{3} & & 1 & & 2 \\ \filet f'(x) & & + & \z & - & \z & + & \\ \filet f(x) & & \c& \h{\frac{193}{27}} & \d & \b{7} & \c & \\ \end{variations} \end{center} \paragraph{Remarque:} Dans cette question on nous demande ce qui se passe uniquement entre - et 2. Donc pour réaliser ce tableau de signe, on fait le tableau tel qu'on a l'habitude de la faire puis on enlève les parties qui ne nous interessent pas. \item Tangente à la courbe au point d'abscisse -1 \begin{eqnarray*} y&=&f'(a)\left( x-a \right) + f(a)\\ y&=&f'(-1)\left( x-(-1)) \right) + f(-1)\\ &=& 8(x+1) + 3\\ &=& 8x + 11 \end{eqnarray*} Donc l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse -1 est $y = 8x + 11$. \end{enumerate} \end{Exo} \begin{Exo} \begin{enumerate} \item D'après une lecture graphique on a: \begin{eqnarray*} f(0) &=&-2\\ f'(-1) &=& 0 \quad \mbox{ car la tangente est horizontale}\\ f'(0) &=& \frac{-2 - 0}{0-2} = 1 \end{eqnarray*} \item Équation de la tangente en $B$ est \begin{eqnarray*} y&=&f'(-1)(x-(-1)) + (-2.7) = 0(x+1) - 2.7\\ y &=& -2.7 \end{eqnarray*} L'équation de la tangente en $C$ est \begin{eqnarray*} y &=&f'(0)(x-0) + (-2) = 1x - 2\\ y &=& x-2 \end{eqnarray*} \item $f'(-2)$ est négatif car en -2, $f$ est décroissante. \item Tableau de signe de $f'$. On remarque que $f$ est décroissante (donc $f'$ négative) jusqu'à -1 puis elle est croissante (donc $f'$ positive). On en déduit le tableau de signe de $f'$. \begin{center} \begin{variations} x & \mI & & -1 & & \pI \\ \filet f'(x) & &-& &+& \\ \end{variations} \end{center} \item En comparant le tableau de signe obtenu dans la question précédente avec les valeurs prises par les graphiques des figures 1 à 3, la seule représentation graphique possible de la fonction dérivée est celle de la figure 2. \end{enumerate} \end{Exo} \begin{Exo} \begin{enumerate} \item Calculons la dérivé de $f(x) = 0.5x + \frac{8}{x}$. $f$ est de la forme $u(x) + v(x)$ avec $u(x) = 0.5x$ et $v(x) = \frac{8}{x}$ donc $u'(x) = 0.5$ et $v'(x) = \frac{-8}{x^2}$. On en déduit $f'$ \begin{eqnarray*} f'(x) = u'(x) + v'(x) &=& 0.5 + \frac{-8}{x^2} \end{eqnarray*} \item Pour étudier le signe de $f'$ il est plus pratique de travailler avec la forme factorisée. \begin{eqnarray*} f'(x) = 0.5 + \frac{-8}{x^2} &=& \frac{0.5x^2}{x^2} + \frac{-8}{x^2}\\ &=& \frac{0.5x^2 - 8}{x^2} \end{eqnarray*} Le dénominateur est un carré, il est donc toujours positif. Étudions le signe du numérateur $0.5x^2 - 8$. Comme c'est un polynôme de degré 2, on utilise la méthode du discriminant. \begin{eqnarray*} \Delta = b^2-4ac = 0^2 - 4\times0.5\times(-8) = 16 \end{eqnarray*} Comme $\Delta$ est positif, il y a deux racines et $f'$ est du signe de $a$ (positif) à l'exterieur des racines. \begin{eqnarray*} x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 - \sqrt{16}}{2*0.5} = \frac{-4}{1} = -4\\ x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 + \sqrt{16}}{2*0.5} = \frac{4}{1} = 4\\ \end{eqnarray*} On en déduit le tableau de signe de $f'$. \begin{center} \begin{variations} x & \; 0.5 & & 4 & & 10\; \\ \filet f'(x)& & - & \z & + & \\ \end{variations} \end{center} \paragraph{Remarque:} Dans cette question on nous demande ce qui se passe uniquement entre 0.5 et 10. Donc pour réaliser ce tableau de signe, on fait le tableau tel qu'on a l'habitude de la faire puis on enlève les parties qui ne nous interessent pas. \item Puis le tableau de variation de $f$ (on le déduit du tableau de signe de $f'$). \begin{eqnarray*} f(4) &=& 0.5\times4 + \frac{8}{4}\\ &=& 2 + 2 \\ &=& 4 \\ f(0.5) &=& 0.5\times0.5 + \frac{8}{0.5}\\ &=& 0.25 + 16\\ &=& 16.25 \\ f(10) &=& 0.5\times 10 + \frac{8}{10} \\ &=& 5 + 0.8 \\ &=& 5.8 \end{eqnarray*} \begin{center} \begin{variations} x & \; 0.5 & & 4 & & 10\; \\ \filet f'(x)& & - & \z & + & \\ \filet f(x) & \h{16.25} &\d & 4 & \c& \h{5.8} \\ \end{variations} \end{center} \item D'après le tableau de variation, le minimum de $f$ est atteint en 4 et vaut 4. Donc pour avoir un coût unitaire minimal, il faut produire 4 tonnes et dans ce cas, chaque tonne coûtera 4 milles euros. \end{enumerate} \end{Exo} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: