\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}

% Title Page
\title{Devoir surveillé: Suites}
\author{}
\date{31 mai 2013}

\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S 7 : \Thetitle}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{Exo}
		\exo{45 p 122}
		\begin{enumerate}
				\item Programme permettant de calculer les termes de la suite $u$:
						\begin{itemize}
								\item En langage humain
\begin{verbatim}
Saisir A
Saisir N
Pour I variant de 1 à N faire
	mettre dans A la valeur 2xA + 5
fin de faire
afficher A
\end{verbatim}
								\item En Texas 
\begin{verbatim}
Prompt A
Prompt N
For(I,1,N)
	2*A+5->A
End
Disp A
\end{verbatim}
								\item En Casio
\begin{verbatim}
? -> A
? -> N
For 1 -> I to N
	2*A + 5 -> 1
Next
A
\end{verbatim}
						\end{itemize}
				\item On calcul alors le terme d'indice 11 de $u$ pour $u_0 = 1$ soit $u_11 = 12283$.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		\exo{83p125}
		\begin{enumerate}[1.]
				\item On calcul les premiers termes des suites $u$ et $v$
						\begin{eqnarray*}
								u_1 &=& \frac{u_0}{2u_0+1} = \frac{6}{2\times 6 + 1} = \frac{6}{13}\\
								u_2 &=& \frac{u_1}{2u_1+1} = \frac{\frac{6}{13}}{2\times \frac{6}{13} + 1} = \frac{6}{25}\\
								u_3 &=& \frac{u_3}{2u_3+1} = \frac{\frac{6}{25}}{2\times \frac{6}{25} + 1} = \frac{6}{37}\\
								v_0 &=& \frac{1}{u_0} = \frac{1}{6} \quad \mbox{Non demandé mais on en aura besoin plus tard}\\
								v_1 &=& \frac{1}{u_1} = \frac{13}{6} \\
								v_2 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{25}{6} \\
								v_3 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{37}{6} 
						\end{eqnarray*}
				\item Démontrons que la suite $v$ est arithmétique. Pour cela, il faut calculer 
						\begin{eqnarray*}
								v_{n+1} - v_{n} &=& \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} \\
											&=& \frac{1}{\frac{u_n}{2u_n + 1}} - \frac{1}{u_n} \\
											&=& \frac{2u_n + 1}{u_n} - \frac{1}{u_n} \\
											&=& \frac{2u_n + 1 - 1}{u_n} \\
											&=& \frac{2u_n}{u_n} \\
											&=& 2
						\end{eqnarray*}
						On a donc $v_{n+1} = v_n + 2$ donc la suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$.
				\item Comme $v$ est une suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$ on en déduit son expression explicite
						\begin{eqnarray*}
								v_n = u_0 + n\times r = \frac{1}{6} + 2n
						\end{eqnarray*}
						On en déduit l'expression de $u$
						\begin{eqnarray*}
								u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n + \frac{1}{6}}
						\end{eqnarray*}
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		\exo{109p126}
		\begin{enumerate}
				\item Population en centre ville et en banlieue en 2011
						\begin{eqnarray*}
								b_1 = 30000 (1 + \frac{7}{100}) = 32100 \\
								c_1 = 30000 (1 - \frac{4}{100}) = 28800
						\end{eqnarray*}
						Population en centre ville et en banlieue en 2012
						\begin{eqnarray*}
								b_2 = 32100 (1 + \frac{7}{100}) = 34347 \\
								c_2 = 28800 (1 - \frac{4}{100}) = 27648
						\end{eqnarray*}
				\item  On remarque que chaque année, on gagne ou on perd un certain pourcentage de la population. Cette situation est donc modélisable par une suite géométrique. 
						
						Pour la population de banlieue, on gagne 7\% chaque année donc $b$ est une suite géométrique de raison $(1 + \dfrac{7}{100} = 1.07$. On en déduit la relation de récurrence suivante
						\begin{eqnarray*}
								b_{n+1} = 1.07\times b_n
						\end{eqnarray*}
						Pour la population de centre ville, on perd 4\% chaque année donc $c$ est une suite géométrique de raison $(1 - \dfrac{4}{100} = 0.96$. On en déduit la relation de récurrence suivante
						\begin{eqnarray*}
								c_{n+1} = 0.96\times c_n
						\end{eqnarray*}
				\item Dans les deux cas la population initiale est de 30000 habitants. On a donc $b_0 = c_0 = 30000$. On en déduit les expressions explicites de $b$ et $c$
						\begin{eqnarray*}
								b_n = 30000\times 1.07^n \\
								c_n = 30000\times 0.96^n 
						\end{eqnarray*}
		\end{enumerate}
\end{Exo}


\end{document}


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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

