\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
\usepackage{subfig}

% Title Page
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
\author{}
\date{19 fervrier 2013}

\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
\cfoot{}
\geometry{left=15mm,right=15mm, top=15mm}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{center}
		\textbf{Sujet 2}\\
		Devise Shadocks: S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
\end{center}

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.

\begin{Exo}(2 points) \textbf{Cours}\\
		\begin{itemize}
				\item Donner la définition du produit scalaire (la première)
				\item Donner l'expression du produit scalaire avec les angles et la norme des vecteurs.
		\end{itemize}
\end{Exo}


\begin{Exo}(3 points)\\
		Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver de la fonction $f$ définie de la manière suivante
		\begin{eqnarray*}
				f:x\mapsto \frac{2x-8}{x^2 - 2x - 3}
		\end{eqnarray*}
\end{Exo}

\begin{Exo}(8 points)\\
	%DONE
    %Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
		Soit la fonction $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + \dfrac{1}{3}$.
    \begin{enumerate}
        \item Étudier le sens de variation de $f$. 
        \item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-6;7]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,25cm sur l'axe des abscisse et 1cm sur l'axe des ordonnées.
        \item Déterminer l'équation de la tangente, $\Delta$ à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse 2. La tracer sur le graphique. On notera $\delta(x) = mx + p$ la fonction assiciee à $\Delta$.
		\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - \delta(x)$.
				\begin{enumerate}
						\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad \dfrac{1}{3}( x^3 - 3x^2+4) = \dfrac{1}{3}\left( x-2 \right)^2\left( x+1 \right)$
						\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$.
				\end{enumerate}
		\item(Dure) Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=-8x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}(7 points)\\
	%DONE
    % Étude de varia et étude de position de tangente
		On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
		\begin{eqnarray*}
				f : x &\mapsto& \frac{\frac{-13}{3}x + 1}{x-3} \\
				g : x &\mapsto& x
		\end{eqnarray*}
		Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
    \begin{enumerate}
		\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
		\begin{eqnarray*}
				h :x \mapsto \frac{-x^2 + \frac{4}{3}x + 1}{x-3}
		\end{eqnarray*}

        \item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
				\begin{eqnarray*}
						h'(x) = \frac{-x^2 + 6x - 5}{(x-3)^2}
				\end{eqnarray*}
				Et étudier le sens de variation de $h$. 
		\item Montrer que sur $]3 \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: