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\title{Oscillateurs}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

Ce TD utilise des résultats présents dans le poly sur les oscillateurs. Nous ne nous intéresserons pas à la mise en place des équations. Nous porterons notre attention sur l'analyse de ces équations grâce à Maple. Voyez ce TD comme un façon de visualiser les solutions des équations que vous manipulez.


Nous aurons besoin des deux bibliothèques suivantes: \texttt{plots} et \texttt{DEtools}. Et nous utiliserons essentiellement les deux commandes suivantes:
\begin{itemize}
    \item \texttt{dsolve} résout formellement les équations
    \item \texttt{DEplot(eqn, vars, ranges, [CIs], linecolor = [colors], scene = [-,-], stepsize = 0.1)} (attention aux majuscules) trace directement les trajectoires (avec \texttt{scene = [t,x]}) ou les portraits de phase (avec \texttt{scene = [x,v]}).
\end{itemize}

\section{Oscillateur simple}
Intéressons nous à l'équation représentant une masse reliée à un ressort
\begin{eqnarray*}
    x'' + \omega_0^2 x = 0  &\mbox{ où }&   \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \\
    x(0) = a, x'(0)=0&&
\end{eqnarray*}
Jusqu'à la fin de ce TD, nous supposerons que $\omega_0 = 2\pi$.

\begin{itemize}
    \item Résolvez et tracez les solutions de cette équation avec les conditions initiales $a = $ 1 et 2.5 (dans la suite du TD, on reprendra ces conditions initiales).
    \item Transformez l'équation du second degré en un système de deux équations du premier degré en posant $v(t) = x'(t)$ la vitesse de la masse. Le système devra avoir la forme suivante avec $a, b, c, d$ des constantes.
        \begin{eqnarray*}
            \left\{ \begin{array}{c}
                x' = ax + bv \\
                v' = cx + dv
            \end{array} \right.
        \end{eqnarray*}
    \item Tracez le portrait de phase des trajectoires $x(t),v(t)$ avec les mêmes conditions initiales.
    \item Une conjecture sur la nature de ces trajectoires? Pourquoi tournent elles dans le sens des aiguilles d'une montre? Quelle est la signification des flèches (\texttt{arrow = none} pour les désactiver)?
\end{itemize}

\section{Oscillateur amorti}
On ajoute un frottement fluide au système. L'équation devient alors
\begin{eqnarray*}
    x'' + 2h x' + \omega_0^2 x = 0  \\
    x(0) = a, x'(0)=0
\end{eqnarray*}
On rappelle que le comportement de ce système dépend du signe de $\Delta = h^2 - \omega_0^2$. Effectuez les questions suivantes pour les 3 cas possibles (en adaptant les valeurs de $h$ par exemple) et adaptez les paramètres pour faire apparaitre les différents comportements.

\begin{itemize}
    \item Déterminez les solutions exactes.
    \item Essayez les fonctions \texttt{simplify} et \texttt{factor} sur les solutions.
    \item Tracez les.
    \item Tracez le portrait de phase (il faut avoir mis l'équation sous forme de système comme dans la première partie)
\end{itemize}


\section{Régime forcé}
On ajoute des oscillations forcées au système. L'équation devient
\begin{eqnarray*}
    x'' + 2h x' + \omega_0^2 x = f \sin(\omega t)  \\
    x(0) = a, x'(0)=0
\end{eqnarray*}

\begin{itemize}
    \item Mettre en évidence la transition de phase.
\end{itemize}

\section{Système non linéaire (Van Der Pol)}
Pour finir intéressons nous à l'équation suivante (que l'on retrouve dans des oscillateurs en électricité)
\begin{eqnarray*}
    x'' - \e (1-x^2)x' + \omega_0^2 x = 0
\end{eqnarray*}
\begin{itemize}
    \item Essayez de résoudre cette équation avec Maple.
\end{itemize}

Distinguons 3 comportements différents suivant les valeurs de $\e$.

\begin{itemize}
    \item Tracez les portraits de phase pour les valeurs de $\e$ suivante: -0.1, 0.5, 10.
    \item Que remarquez vous?
\end{itemize}

\end{document}
