\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\title{Polynômes}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\section{Polynômes}
\subsection{Les polynômes dans Maple}

\begin{verbatim}
	> p := x^5 + 4x^3 - 12x + 2; # Définition d'un polynôme

	> type(p, polynom) # Tester si p est bien un polynome

	> q := x^n - 1; type(q, polynom);
	# Attention les exposants doivent être des nombres entiers

	> q := 3x^2 + 1;

	> q+p; q*p; # Les opérations sur les polynômes marchent.

	> subs(x=1,p); # Évaluer p en 1

	> f := unapply(p,x); # Transformer p en une fonction

	> degree(p); # Degré du polynôme

	> ldegree(p); # Valuation du polynôme

	> coeffs(p,x); # Avoir tous les coefficients de p

	> coeff(p,x,2); # Coefficient devant le terme x^2

	> lcoeff(p,x); # Coefficient dominant de p

	> rem(p,q,x); # Reste de la division euclidienne de p par q

	> quo(p,q,x); # Quotient de la division euclidienne de p par q
\end{verbatim}

\subsection{Manipulation des polynômes}

\begin{verbatim}
	> expand(q*p); # Développer une forme factorisée

	> factor(x^2 - 1); # Factorise un polynôme.

	> factor(x^2 + 1); factor(x^2 + 1, I); # Il faut préciser dans quel corps on veut factoriser.

	> factor(x^2 - 2); factor(x^2 - 2, sqrt(2)); # Même remarque

	> factor(x^2+x+1); factor(x^2+x+1,[I,sqrt(3)]); # Encore un autre exemple
\end{verbatim}
\texttt{factor} factorise par défaut dans le corps de base du polynôme (celui dans lequel sont ses coefficients). Le plus souvent ce corps est $\Q$. Pour lui dire de factoriser dans un corps plus grand, il faut lui préciser les éléments à ajouter au corps (on appelle cette ``méthode'' \textbf{extension de corps}). Il n'est pas toujours facile de connaitre les éléments à ajouter pour cela, on peut utiliser \texttt{RootOf}.
\begin{verbatim}
	> allvalues(RootOf(x^2 - 2)); # Racines de x^2 - 2

\end{verbatim}
On peut aussi directement se placer sur le corps $\R$ et avoir une factorisation complète mais nous n'aurons plus d'expression exacte.
\begin{verbatim}
	> factor(x^2 - 2.0); # Factorisation complète mais approchée

\end{verbatim}

Pour extraire les polynômes dans une forme Factorisée, on utilisera \texttt{convert}.
\begin{verbatim}
	> p = x^2 - 1; 

	> convert(factor(p), list); # Sous forme de liste (l'ordre des facteurs est maintenu)

	> convert(factor(p), set); # Sous forme d'ensemble (ordre non maintenu et par de doublons)

\end{verbatim}


\begin{Exo}
		On considère le polynôme suivant $P = X^4 + X^3 + aX^2 + \sqrt{2} X + b$.
		\begin{enumerate}
				\item Déterminer $a$ et $b$ tels que $1+i$ soit une racine de $P$.
				\item Trouver tous les zéros de $P$.
				\item Factoriser $P$ dans $\R[X]$ puis dans $\C[X]$.
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		Déterminer les polynômes $P \in \R_3[X]$ tels que $P(-1) = -18$ et dont le reste de la division euclidienne par $X-1$, $X-2$ ou $X-3$ soit égale à 6
\end{Exo}


\begin{Exo}
		On s'intéresse aux polynômes de la forme $X^n - 1$.
		\begin{enumerate}
				\item Écrire une procédure \texttt{P} qui prend en argument \texttt{n} qui renvoie le polynôme $X^n - 1$.
				\item Factoriser dans $\Q$ les 10 premiers polynômes de cette forme. Que peut-on conjecturer sur les coefficients des facteurs? (Les facteurs sont les polynômes \textbf{cyclotomiques}).
				\item En espérant que vous ayez fait la bonne conjecture, nous allons essayer de la vérifier plus systématiquement. Écrire un procédure qui prend en argument \texttt{n} et qui renvoie l'ensemble (sans doublons) des coefficients des facteurs de $X^n - 1$.
				\item Tester votre conjecture pour $n$ allant jusqu'à 150. Que pouvez vous conclure?
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
		On s'intéresse maintenant aux polynômes de Tchebichev. On rappelle que se sont les polynômes $T_n$ tels que $\cos(nt) = T_n(\cos(t))$.
		\begin{enumerate}
				\item Écrire une procédure qui prend en argument \texttt{n} et qui renvoie le polynôme de Tchebichev $T_n$. (\texttt{expand} marche aussi avec les fonctions trigonométriques).
				\item Vérifier sur des petites valeurs de $n$ et $m$ que l'on a bien les propriétés suivantes:
						\begin{eqnarray*}
								T_n(1) &=& 1 \\
								T_n(T_m(X)) &=& T_{nm}(X) \\
								T_n(-x) &=& (-1)^n T_n(x) \\
								\forall n \in N \quad \forall k \leq n && T_n\left( \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \right) = 0
						\end{eqnarray*}
				\item Tracer les courbes des 5 premiers polynômes de Tchebichev sur un même graphique.
		\end{enumerate}
\end{Exo}


\section{Fractions rationnelles}

\subsection{Les fractions rationnelles}

\begin{verbatim}
	> f := (x^2 - 3) / (x + 1); # définir une fraction rationnelle

	> type(f, ratpoly); # les fractions rationnelles sont appelées ratpoly dans Maple

	> numer(f); denom(f); # Numérateur et dénominateur de f

	> f + 1; factor(f+1); normal(f+1); # Opération sur les fractions rationnelles et simplifications

\end{verbatim}

\section{Décomposition en éléments simples}

\begin{verbatim}
	> h := (x(x+2)) / (x+1);

	> convert(h, parfrac, x); # Décomposition en éléments simples

	> F:=1/(x^3+1): convert(F,parfrac,x,sqrt(3)); # Même soucis qu'avec les polynômes, il faut préciser le corps

	> convert(F,parfrac,x,{sqrt(3),I});

\end{verbatim}

\begin{Exo}
		Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante $F = \frac{1}{X^4 + 1}$ sur $\R$ puis sur $\C$.
\end{Exo}

\end{document}
