\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}

% Title Page
\title{Devoir Maison: Produit scalaire}
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\date{}

\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S 7 : \Thetitle}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{Exo}(58 p 202)
		\begin{enumerate}
				\item Montrons que $||\vec{u} + \vec{v}||^2 + ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = 2\left( ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 \right)$.
						\begin{eqnarray*}
								||\vec{u} + \vec{v}||^2 + ||\vec{u} - \vec{v}||^2 &=& ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2 \\
								&& \quad ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2 \\
								&=& 2||\vec{u}||^2 + 2||\vec{v}||^2 + 2\vec{u}.\vec{v} - 2\vec{u}.\vec{v}\\
								&=& 2\left( ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 \right)
						\end{eqnarray*}
				\item Montrons l'identité d'Apollonius. Pour cela on va appliquer le résultat de la question précédente à $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{BC}$.

						Comme on a $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ par la relation de Chasles. 
						
						Et que $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{DA} = \vec{DB}$ par la relation de Chasles et en utilisant le fait que $ABCD$ soit un parallélogramme et donc que $\vec{CB} = \vec{DA}$.
						
						La relation montrée à la question précédente donne
						\begin{eqnarray*}
								||\vec{AC}||^2 + ||\vec{BD}||^2 = 2\left( ||\vec{AB}||^2 + ||\vec{BC}||^2 \right)\\
								AC^2 + BD^2 = 2\left( AB^2 + BC^2 \right)
						\end{eqnarray*}
				\item Calculons la longueur de la diagonale $[BD]$. Par la question précédente, on a 
						\begin{eqnarray*}
								BD^2 &=& 2(AB^2 + BC^2) - AC^2 \\
								&=& 2(6^2 + 4^2) - 8^2 \\
								BD^2 &=& 40 \\
								BD &=& \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
						\end{eqnarray*}
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}(70 p 203)
		\begin{enumerate}
				\item $ABF$ est un triangle inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ dont le coté $[AF]$ est une diagonale de ce cercle. On en déduit donc que $ABF$ est un triangle rectangle en $B$. Ainsi $B$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$. On peut donc simplifier le produit scalaire
						\begin{eqnarray*}
								\vec{AB}.\vec{AF} = \vec{AB}.\vec{AB} = AB^2
						\end{eqnarray*}

						De la même façon, $C$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AC)$ et donc le produit scalaire se simplifie
						\begin{eqnarray*}
								\vec{AC}.\vec{AF} = \vec{AC}.\vec{AC} = AC^2
						\end{eqnarray*}o
				\item Montrons que $AB^2 + AC^2 = 2 \vec{AI}.\vec{AF}$.

						\begin{eqnarray*}
								AB^2 + AC^2 &=& \vec{AB}.\vec{AF} + \vec{AC}.\vec{AF} \\
								&=& \left(  \vec{AI} + \vec{IB}\right).\vec{AF} + \left( \vec{AI} + \vec{IC} \right).\vec{AF} \\
								&=& \vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IB}.\vec{AF} + \vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IC}.\vec{AF} \\
								&=& 2\vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IB}.\vec{AF} + \vec{IC}.\vec{AF} \\
						\mbox{or } \vec{IB} = -\vec{IC} &=& 2\vec{AI}.\vec{AF}
						\end{eqnarray*}
		\end{enumerate}

\end{Exo}

\begin{Exo}(95 p 205)
		\begin{enumerate}
				\item Calculons les produits scalaires.
						\begin{eqnarray*}
								\vec{BA}.\vec{AC} &=& \frac{1}{2}\left( ||\vec{BA} + \vec{AC}||^2 - ||\vec{BA}||^2 - ||\vec{AC}||^2 \right) \\
								&=& \frac{1}{2}\left( BC^2 - BA^2 - AC^2 \right)\\
								&=& \frac{1}{2} \left( 4^2 - 7^2 - 5^2 \right) \\
								&=& -29 \\
								\vec{AB}.\vec{BC} = -20 \\
								\vec{CA}.\vec{BC} = 4
						\end{eqnarray*}
				\item 
						\begin{eqnarray*}
								\vec{AB}.\vec{AC} &=& -\vec{BA}.\vec{AC} = 29 \\
								\vec{BA}.\vec{BC} &=& -\vec{AB}.\vec{BC} = 20
						\end{eqnarray*}
				\item Calculons la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. On sait que $\vec{BA}.\vec{BC} = ||\vec{BA}||\; ||\vec{BC}|| \cos(\vec{BA},\vec{BC})$ donc
						\begin{eqnarray*}
								\cos(\vec{BA},\vec{BC}) &=& \frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{||\vec{BA}||\;||\vec{BC}||} \\
								&=& \frac{-20}{7 \times 4}\\
								\widehat{ABC} &=& \cos^{-1} \left( \frac{20}{28} \right)\\
								&=& 44.4
						\end{eqnarray*}
						On fait de la même manière pour l'angle $\widehat{BAC}$
						\begin{eqnarray*}
								\widehat{BAC} = \cos^{-1} (\frac{29}{35}) = 34.0
						\end{eqnarray*}
						Et on déduit le dernier angle 
						\begin{eqnarray*}
								\widehat{ACB} = 180 - \widehat{ABC} - \widehat{BAC} = 180 - 44 - 34 = 101.6
						\end{eqnarray*}
		\end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}

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%%% TeX-master: "master"
%%% End:

