\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
\author{}
\date{19 fervrier 2013}

\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{center}
		\textbf{Sujet Finlande}\\
\end{center}


Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.

\begin{Exo}(5 points)\\
		Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver des fonctions $f$ et $g$ définies de la manière suivante
		\begin{eqnarray*}
				f:x\mapsto \sqrt{x}\left( x^{30} + \frac{1}{x} \right) \\
				g:x\mapsto \frac{2x-8}{x^2 - 2x - 3}
		\end{eqnarray*}
\end{Exo}

\begin{Exo}(8 points)\\
     %Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
    Soit la fonction $f(x) = -x^3 - x^2 + x + 3$.
    \begin{enumerate}
        \item Étudier le sens de variation de $f$. 
        \item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-3;2]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,5cm sur l'axe des abscisse et 2cm sur l'axe des ordonnées.
        \item Déterminer l'équation de la tangente,$T$, à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse -2. La tracer sur le graphique. Dans la suite, on notera $t(x)$ la fonction associée à $T$.
		\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $T$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - t(x)$.
				\begin{enumerate}
						\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad x^3-\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4} = (x+1)\left( x-\dfrac{1}{2} \right)^2$
						\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
				\end{enumerate}
		\item Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=9x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}(7 points)\\
    % Étude de varia et étude de position de tangente
		On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
		\begin{eqnarray*}
				f : x \mapsto \frac{x-1}{3-2x} \quad
				g : x \mapsto -\frac{1}{2}x
		\end{eqnarray*}
		Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
    \begin{enumerate}
		\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
		\begin{eqnarray*}
				h :x \mapsto \frac{x^2 - \frac{1}{2}x - 1}{3-2x}
		\end{eqnarray*}

        \item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
				\begin{eqnarray*}
						h'(x) = \frac{-2x^2 + 6x - \frac{7}{2}}{(3-2x)^2}
				\end{eqnarray*}
				Et étudier le sens de variation de $h$. 
\item Montrer que sur $]\dfrac{3}{2} \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

