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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir Maison: Suites Correction}
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\author{}
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\date{28 mars 2012}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}(43 p 141)
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\begin{enumerate}
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\item On remarque que le premier terme $u_0$ est positif et que la suite est décroissante, donc $q$ est compris entre 0 et 1.
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\item Ici $u_0$ est positif et la suite est croissante, donc $q$ est plus grand que 1.
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\item $u_0$ est négatif et la suite est croissante, donc $q$ est compris entre 0 et 1.
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\item $u_0$ est négatif et la suite est décroissante, donc $q$ est plus grand que 1.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(34 p 140)
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\begin{enumerate}
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\item On va modéliser la situation par une suite $u$ représentant l'évolution de la consommation de cacao au fil des ans. La suite commence par $u_0$ (qu'il faudra calculer) la valeur de la consommation de cacao en 1995. L'énoncé nous donne deux valeurs
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\begin{eqnarray*}
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u_2 = 3.04 \quad u_{10} = 4.07
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\end{eqnarray*}
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Dans l'énoncé, on nous dit que l'évolution est linéaire donc la suite est arithmétique. On note alors $r$ la raison (qu'il faudra calculer). La suite est alors de la forme
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\begin{eqnarray*}
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u_n = u_0 + nr
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\end{eqnarray*}
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\item Calcul de l'augmentation annuelle
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\begin{eqnarray*}
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\frac{4.07 - 3.04}{2005 - 1997} = \frac{1.04}{8} = 0.13
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\end{eqnarray*}
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Donc la raison de la suite est $r = 0.13$.
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On en déduit $u_0$ la valeur de la consommation en 1995.
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\begin{eqnarray*}
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u_2 = u_0 + 2\times 0.13 = 3.04 &\equiv& u_0 = 3.04 - 2\times 0.13 = 2.78
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\end{eqnarray*}
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\item Consommation en 2015
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\begin{eqnarray*}
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u_{20} = 2.78 + 20 \times 0.13 = 5.38
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\end{eqnarray*}
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Donc la consommation en 2015 sera de 5.38kg/habitants.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(47 p 141)
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\begin{enumerate}
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\item Calculons $u_1$ et $u_2$. On a une diminution de $15\%$ donc on multiplie les valeurs par $\left( 1 - \dfrac{15}{100} \right)$.
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\begin{eqnarray*}
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u_1 = 2000 \times \left( 1 - \frac{15}{100} \right) = 2000 \times 0.85 = 1700 \\
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u_2 = 1700 \times \left( 1 - \frac{15}{100} \right) = 1700 \times 0.85 = 1445
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\end{eqnarray*}
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\item L'évolution est donnée en pourcentage, donc la suite est géométrique. La raison est $q = \left( 1 - \dfrac{15}{100} \right) = 0.85$ et le premier terme est $u_0 = 2000$. On en déduit la relation de récurrence
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\begin{eqnarray*}
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u_n = 0.85 u_{n-1}
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\end{eqnarray*}
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et la formule explicite
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\begin{eqnarray*}
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u_n = u_0 \times q^n = 2000 \times 0.85^n
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\end{eqnarray*}
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\item Avec la calculatrice, on a
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\begin{eqnarray*}
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u_{14} = 205 \quad u_{15} = 174
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\end{eqnarray*}
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Donc après 15 jours, on peut considérer que l'épidémie est endiguée.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(13 feuille)
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\begin{enumerate}
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\item Calcul de raison. La suite est arithmétique donc en notant $r$ la raison et $u_0$ le premier terme, la relation explicite de la suite est
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\begin{eqnarray*}
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u_n = u_0 + n\times r
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\end{eqnarray*}
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Or on sait que
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\begin{eqnarray*}
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u_3 = 2400 = u_0 + 3 \times r \\
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u_{10} = 300 = u_0 + 10 \times r
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\end{eqnarray*}
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On a donc
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\begin{eqnarray*}
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\left\{ \begin{array}{lcr}
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2400 &=& u_0 + 3 \times r\\
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300 &=& u_0 + 10 \times r
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\end{array}
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\right.
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&\equiv&
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\left\{ \begin{array}{lcr}
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u_0 &=& 3 \times r - 2400\\
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u_0 &=& 10 \times r - 300
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\end{array}
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\right.
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\end{eqnarray*}
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Donc
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\begin{eqnarray*}
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3\times r - 2400 = 10 \times r - 300 &\equiv& 7 \times r = -2100 \\
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&\equiv& r = -300
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\end{eqnarray*}
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On déduit $u_0$ à partir de la première égalité
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\begin{eqnarray*}
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u_0 = 300 - 10 \times (-300) = 3300
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\end{eqnarray*}
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\item Calculons $u_{100}$
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\begin{eqnarray*}
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u_{100} = 3300 + 100 \times (-300) = -26700
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\end{eqnarray*}
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\item Relation explicite de $u$
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\begin{eqnarray*}
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u_n = 3300 + n\times (-300)
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\end{eqnarray*}
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\item Comme la raison est -300 donc négative et que la suite est arithmétique, la suite est décroissante.
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\item \note{TODO?}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(18 feuille)
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\begin{enumerate}
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\item La suite est géométrique donc en notant $q$ la raison et $u_0$ le premier terme, la suite est de la forme suivant
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\begin{eqnarray*}
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u_n = u_0 \times q^n
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\end{eqnarray*}
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On sait que $u_3 = 2400$ et $u_5 = 300$ on a donc
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\begin{eqnarray*}
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\left\{ \begin{array}{lcr}
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|
2400 &=& u_0 \times q^3 \\
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|
300 &=& u_0 \times q^5
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|
\end{array}
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\right.
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\end{eqnarray*}
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Donc
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\begin{eqnarray*}
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\frac{u_5}{u_3} = \frac{u_0 \times q^5}{u_0\times q^3} = q^2
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\end{eqnarray*}
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Mais on a aussi
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\begin{eqnarray*}
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\frac{u_5}{u_3} = \frac{300}{2400} =\frac{1}{8}
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\end{eqnarray*}
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Donc finalement
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\begin{eqnarray*}
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q^2 = \frac{1}{8} &\equiv& q^2 = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0.35
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\end{eqnarray*}
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On déduit $u_0$ à partit de la première égalité
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\begin{eqnarray*}
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2400 = u_0 \times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^3 &\equiv& u_0 = \frac{2400}{\left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^3} \\
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&\equiv& u_0 = 54305
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\end{eqnarray*}
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\item Calculons $u_{100}$
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\begin{eqnarray*}
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u_{100} = 543065\times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^100 = 3.8 \times 10^{-41}
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\end{eqnarray*}
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\item Relation explicite de $u$
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\begin{eqnarray*}
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u_n = 54305 \times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^n
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\end{eqnarray*}
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\item Le premier terme $u_0$ est positif et la raison $q$ est plus petite que 1 donc la suite est décroissante.
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\item \note{TODO?}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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