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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Loi binomiale Correction}
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\author{}
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\date{13 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}(4 points)\\
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\begin{enumerate}
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\item Sur un arbre correspondant à un schéma de Bernoulli de paramètres 5 et $0.7$, il y a autant de chemins avec 3 succès que de chemins avec 1 succès?
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\begin{center}
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a) Vrai \hspace{5cm} b) \colorbox{green}{Faux}
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\end{center}
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En effet, on compte le nombre de chemins grâce aux coefficients binomiaux. Ainsi le nombre de chemins avec 3 succès est le nombre $\coefBino{5}{3} = 10$. Et le nombre de chemin avec 1 succès est le nombre $\coefBino{5}{1} = 5$. Donc la proposition est fausse.
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\item On considère $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}\left( 5; \frac{1}{3} \right)$. Elle peut alors prendre les valeurs entières comprises entre 1 et 5.
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\begin{center}
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a) Vrai \hspace{5cm} b) \colorbox{green}{Faux}
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\end{center}
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En effet, si on répète 5 fois une expérience de Bernoulli, on peut avoir effectivement de 1 à 5 succès mais on peut aussi avoir aucun succès.
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\item Un panier contient 20 fraises et 30 framboises. On prend simultanément 5 fruits. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fraise. $X$ suit alors une loi binomiale de paramètres 5 et $\frac{20}{50}$.
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\begin{center}
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a) Vrai \hspace{5cm} b) \colorbox{green}{Faux}
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\end{center}
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En effet, comme on prend \textbf{simultanément} 5 fruits, le tirage est sans remise. On ne peut donc pas décomposer cette expérience en la répétition identique et indépendante de 5 expériences de Bernoulli. $X$ ne suit donc pas une loi binomiale.
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\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 10 et $p$. Alors $P(X=4) = 4p^4(1-p)^6$.
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\begin{center}
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a) Vrai \hspace{5cm} b) \colorbox{green}{Faux}
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\end{center}
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Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres 10 et $p$, on a $P(X=4) = \coefBino{10}{4} p^4 (1-p)^{10-4}$. Or $\coefBino{10}{4} = 210 \neq 4$, la proposition est donc fausse.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item À chaque composant correspond une expérience de Bernoulli de paramètre 0.02. Car il y a deux possibilités:
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\begin{itemize}
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\item Le composant est défectueux (avec probabilité 0.02)
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\item Le composant est correct (avec probabilité $1-0.02 = 0.98$)
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\end{itemize}
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D'après l'énoncé ces expériences sont identiques et indépendantes et on les répète 50 fois. On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres 50 et 0.02.
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Comme $X$ compte de le nombre de composants défectueux, $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 50 et 0.02.
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\item Calculons la probabilité qu'exactement deux composants soient défectueux
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\begin{eqnarray*}
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P(X=2) &=& \coefBino{50}{2} \times 0.02^{2} \times 0.98^{48} \\
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&=& 0.18
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\end{eqnarray*}
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\item Calculons la probabilité d'avoir au moins deux composants défectueux
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\begin{eqnarray*}
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P(X\geq 2) &=& 1 - P(X \leq 1) \\
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&=& 1 - \left( P(X=0) + P(X=1) \right) \\
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&=& 1 - \left( \coefBino{50}{0}\times0.02^{0}\times 0.98^{50} + \coefBino{50}{1}\times0.02^{1}\times 0.98^{49}\right) \\
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&=& 1 - (0.36 - 0.37) \\
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&=& 0.27
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\end{eqnarray*}
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\item Pour calculer le nombre moyen de composants défectueux, il faut calculer l'espérance de $X$.
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\begin{eqnarray*}
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E[X] = n \times p = 50 \times 0.02 = 1
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\end{eqnarray*}
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Il y aura en moyenne un objet défectueux.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item Calculons les probabilités manquantes
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\begin{eqnarray*}
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P(X=3) &=& \coefBino{15}{3} \times 0.4^{3} \times 0.6^{12} = 0.063 \\
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P(X=6) &=& \coefBino{15}{6} \times 0.4^{6} \times 0.6^{9} = 0.207 \\
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P(X=9) &=& \coefBino{15}{9} \times 0.4^{9} \times 0.6^{6} = 0.061
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\end{eqnarray*}
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\item Pour trouver $a$, on constate que
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\begin{eqnarray*}
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P(X \leq 0) &=& 0.0 \\
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P(X \leq 1) &=& 0.0 +0.005 = 0.005 \leq 0.025\\
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P(X \leq 2) &=& 0.005 + 0.022 = 0.027 \geq 0.025
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\end{eqnarray*}
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Donc $a$ est égal à 2.
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\item Pour trouver $b$, on peut ajouter la ligne $P(X\leq k)$ pour trouver quand cette probabilité. On peut aussi constater que
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\begin{eqnarray*}
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P(X\leq k) = 1 - P(X > k) = 1 - P(X \geq k+1)
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\end{eqnarray*}
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Donc on est ramené à chercher $b$ tel que $P(X \geq k+1) \leq 0.025$.
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\begin{eqnarray*}
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P(X \geq 11) = 0.002 + 0.007 = 0.009 \leq 0.025 \\
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P(X \geq 10) = 0.009 + 0.024 = 0.033 \geq 0.025
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\end{eqnarray*}
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Donc $b + 1 = 11$ et ainsi $b = 10$
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\item Espérance de X
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\begin{eqnarray*}
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E[X] &=& n\times p = 15 \times 0.4 = 6
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\end{eqnarray*}
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\item Représentation graphique de $X$
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\note{TODO}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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