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TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Suites}
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\author{}
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\date{31 mai 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S 7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}
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\exo{45 p 122}
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\begin{enumerate}
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\item Programme permettant de calculer les termes de la suite $u$:
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\begin{itemize}
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\item En langage humain
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\begin{verbatim}
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Saisir A
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Saisir N
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Pour I variant de 1 à N faire
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mettre dans A la valeur 2xA + 5
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fin de faire
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afficher A
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\end{verbatim}
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\item En Texas
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\begin{verbatim}
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Prompt A
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Prompt N
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For(I,1,N)
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2*A+5->A
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End
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Disp A
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\end{verbatim}
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\item En Casio
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\begin{verbatim}
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? -> A
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? -> N
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For 1 -> I to N
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2*A + 5 -> 1
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Next
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A
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\end{verbatim}
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\end{itemize}
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\item On calcul alors le terme d'indice 11 de $u$ pour $u_0 = 1$ soit $u_11 = 12283$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\exo{83p125}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item On calcul les premiers termes des suites $u$ et $v$
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\begin{eqnarray*}
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u_1 &=& \frac{u_0}{2u_0+1} = \frac{6}{2\times 6 + 1} = \frac{6}{13}\\
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u_2 &=& \frac{u_1}{2u_1+1} = \frac{\frac{6}{13}}{2\times \frac{6}{13} + 1} = \frac{6}{25}\\
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u_3 &=& \frac{u_3}{2u_3+1} = \frac{\frac{6}{25}}{2\times \frac{6}{25} + 1} = \frac{6}{37}\\
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v_0 &=& \frac{1}{u_0} = \frac{1}{6} \quad \mbox{Non demandé mais on en aura besoin plus tard}\\
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v_1 &=& \frac{1}{u_1} = \frac{13}{6} \\
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v_2 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{25}{6} \\
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v_3 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{37}{6}
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\end{eqnarray*}
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\item Démontrons que la suite $v$ est arithmétique. Pour cela, il faut calculer
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\begin{eqnarray*}
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v_{n+1} - v_{n} &=& \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} \\
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&=& \frac{1}{\frac{u_n}{2u_n + 1}} - \frac{1}{u_n} \\
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&=& \frac{2u_n + 1}{u_n} - \frac{1}{u_n} \\
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&=& \frac{2u_n + 1 - 1}{u_n} \\
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&=& \frac{2u_n}{u_n} \\
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&=& 2
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\end{eqnarray*}
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On a donc $v_{n+1} = v_n + 2$ donc la suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$.
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\item Comme $v$ est une suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$ on en déduit son expression explicite
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\begin{eqnarray*}
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v_n = u_0 + n\times r = \frac{1}{6} + 2n
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\end{eqnarray*}
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On en déduit l'expression de $u$
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\begin{eqnarray*}
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u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n + \frac{1}{6}}
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\exo{109p126}
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\begin{enumerate}
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\item Population en centre ville et en banlieue en 2011
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\begin{eqnarray*}
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b_1 = 30000 (1 + \frac{7}{100}) = 32100 \\
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c_1 = 30000 (1 - \frac{4}{100}) = 28800
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\end{eqnarray*}
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Population en centre ville et en banlieue en 2012
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\begin{eqnarray*}
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b_2 = 32100 (1 + \frac{7}{100}) = 34347 \\
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c_2 = 28800 (1 - \frac{4}{100}) = 27648
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\end{eqnarray*}
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\item On remarque que chaque année, on gagne ou on perd un certain pourcentage de la population. Cette situation est donc modélisable par une suite géométrique.
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Pour la population de banlieue, on gagne 7\% chaque année donc $b$ est une suite géométrique de raison $(1 + \dfrac{7}{100} = 1.07$. On en déduit la relation de récurrence suivante
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\begin{eqnarray*}
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b_{n+1} = 1.07\times b_n
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\end{eqnarray*}
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Pour la population de centre ville, on perd 4\% chaque année donc $c$ est une suite géométrique de raison $(1 - \dfrac{4}{100} = 0.96$. On en déduit la relation de récurrence suivante
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\begin{eqnarray*}
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c_{n+1} = 0.96\times c_n
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\end{eqnarray*}
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\item Dans les deux cas la population initiale est de 30000 habitants. On a donc $b_0 = c_0 = 30000$. On en déduit les expressions explicites de $b$ et $c$
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\begin{eqnarray*}
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b_n = 30000\times 1.07^n \\
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c_n = 30000\times 0.96^n
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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