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TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{subfig}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
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\author{}
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\date{19 fervrier 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
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\cfoot{}
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\geometry{left=15mm,right=15mm, top=15mm}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{center}
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\textbf{Sujet 2}\\
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Devise Shadocks: S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
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\end{center}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.
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\begin{Exo}(2 points) \textbf{Cours}\\
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\begin{itemize}
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\item Donner la définition du produit scalaire (la première)
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\item Donner l'expression du produit scalaire avec les angles et la norme des vecteurs.
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\end{itemize}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(3 points)\\
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Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver de la fonction $f$ définie de la manière suivante
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\begin{eqnarray*}
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f:x\mapsto \frac{2x-8}{x^2 - 2x - 3}
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\end{eqnarray*}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(8 points)\\
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%DONE
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%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
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Soit la fonction $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + \dfrac{1}{3}$.
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\begin{enumerate}
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\item Étudier le sens de variation de $f$.
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\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-6;7]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,25cm sur l'axe des abscisse et 1cm sur l'axe des ordonnées.
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\item Déterminer l'équation de la tangente, $\Delta$ à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse 2. La tracer sur le graphique. On notera $\delta(x) = mx + p$ la fonction assiciee à $\Delta$.
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\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - \delta(x)$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad \dfrac{1}{3}( x^3 - 3x^2+4) = \dfrac{1}{3}\left( x-2 \right)^2\left( x+1 \right)$
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\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$.
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\end{enumerate}
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\item(Dure) Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=-8x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(7 points)\\
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%DONE
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% Étude de varia et étude de position de tangente
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On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
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\begin{eqnarray*}
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f : x &\mapsto& \frac{\frac{-13}{3}x + 1}{x-3} \\
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g : x &\mapsto& x
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\end{eqnarray*}
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Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
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\begin{eqnarray*}
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h :x \mapsto \frac{-x^2 + \frac{4}{3}x + 1}{x-3}
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\end{eqnarray*}
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\item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
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\begin{eqnarray*}
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h'(x) = \frac{-x^2 + 6x - 5}{(x-3)^2}
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\end{eqnarray*}
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Et étudier le sens de variation de $h$.
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\item Montrer que sur $]3 \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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