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5.6 KiB
TeX
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\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/TD_maple/2012_2013/style}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{tabularx}
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\title{Algèbre linéaire}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\section*{LinearAlgebra}
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Ce TD est consacré à l'utilisation de Maple pour faire de l'algèbre linéaire. Pour cela, il faudra charger au début de la feuille de calcul la bibliothèque \texttt{LinearAlgebra}.
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\paragraph{Remarque:} Il existe aussi la bibliothèque \texttt{Linalg} mais elle est considérée comme obsolète. Nous utiliserons uniquement la bibliothèque \texttt{LinearAlgebra}.
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\section{Les vecteurs: \texttt{Vector}}
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\begin{verbatim}
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>Vector([1,2,3]) # Un vecteur colonne de dimension 3
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>Vector[row]([1,2,3]) # Un vecteur ligne de dimension 3
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>V1 + V2 # Addition des vecteur V1 et V2 s'ils ont les même dimensions
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>3*V # Multiplication par un scalaire du vecteur V
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>V1.V2 # Produit scalaire de V1 par V2
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>Dimension(V)} # Dimension du vecteur V
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>Basis([V1, V2, V3]) # Renvoie un base de $Vect(V1, V2, V3)
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\end{verbatim}
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\begin{Exo}
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Soit $A = \left(%
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\begin{array}[h]{cccc}
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1 & -3 & 3 & -2 \\
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1 & 1 & 1 & 2 \\
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2 & 4 & 1 & 6 \\
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1 & 1 & 1 & 2
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\end{array}%
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\right)$
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Déterminer le rang de $A$ ainsi qu'une base de son image.
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\end{Exo}
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\section{Les matrices: \texttt{Matrix}}
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\subsection{Création de matrices}
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\begin{verbatim}
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> Matrix([[ 1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]); # Matrice à partir de la liste des lignes
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> convert(C, Matrix); # Matrice à partir de la liste des colonnes
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> Matrix(3, 2, [1, 2, 3, 4, 5]); # Matrice à partir des dimension de la liste des coéficients
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> Matrix(2, 5, 0); # À partir des dimensions et d'une seul valeur
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> f := (i,j) -> |i-j|; # Un fonction avec deux arguments
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> Matrix(3, 4, f); # À partir des dimensions et d'une fonction à deux arguments
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> A := Matrix(3, 3); # Matrice avec que des 0
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> A[1, 2] := 2; # Modification d'un seul élément de la matrice
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> A[2..3,2..3] := Matrix(2,2,5); Modification d'un bloc
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> IdentityMatrix(n) # Matrice identité de taille n
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> DiagonalMatrix([1, 2, 3, 4, 5]) # Matrice diagonale
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\end{verbatim}
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\subsection{Opération sur les matrices}
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\begin{verbatim}
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> A:=Matrix([[0,1,2],[1,1,1]]): B:=Matrix([[5,4,0],[2,5,-1]]): # on crée des matrices pour les exemples
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C:=Matrix([[1,-1,2],[1,0,1],[1,1,2]]): V:= Vector([1,20,1]):
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> Dimension(A) # Dimension de la matrice
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> A + B # Addition de matrices
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> A.B; A.C; A.C # Multiplication de matrices
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> Transpose(A) # Transposition
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> C^2 # Puissance de matrices
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> C^(-1) # Inverser une matrice
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> Trace(C) # Trace de la matrice
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> Determinant(C) # Déterminant
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\end{verbatim}
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\begin{Exo}
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Créer les matrices suivantes, dire si elles sont inversibles, calculer l'inverse quand c'est possible et calculer la puissance n-ième. Comme les matrices suivantes dépendent de $n$, vous pouvez faire une procédure qui prend en argument $n$ et qui renvoie la matrice voulu.
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\begin{enumerate}
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\item $\left( \dfrac{ji}{i+j} \right)_{1 \leq i,j \leq n}$
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\item $\left( pgcd(i,j) \right)_{1 \leq i,j \leq n}$
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\item $\left( \left( i+j \right)^k \right)_{1\leq j,i \leq n}$.
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\item $\forall i,j \leq n$ $a_{ij} = \left\{%
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\begin{array}[h]{c}
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i-j \mbox{ si } i \leq j \\
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0 \mbox{ sinon}
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\end{array} \right.$. (On pourra utilise \texttt{piecewise}.)
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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Fabriquez la matrice de Hilbert $\left( \dfrac{1}{i+j+1} \right)_{i,j \leq n}$ et calculer son déterminant suivant les valeurs de $n$. Vérifier que pour ces valeurs, le determinant est égal à
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\begin{eqnarray*}
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\prod^{n}_{k=1} \frac{(k!)^2}{(2k+1)(2k)!^2}
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\end{eqnarray*}
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\end{Exo}
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\subsection{Système linéaire}
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\begin{verbatim}
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> solve({x+y+z=0,2*x+3*y+z=1,x+y-z=2}); # résout le système d'équations
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> A:=Matrix([[1,1,1],[2,3,1],[1,1,-1]]):b:=Vector([0,1,2]):
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> LinearSolve(A,b); # Résout le système associé.
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> A:=Matrix([[1,1,1],[2,3,1],[1,1,-1]]): b:=Matrix([[0,1,1],[0,0,0],[2,1,1]]):
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> LinearSolve(A,b); # Marche aussi avec les équations matricielles
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\end{verbatim}
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\begin{Exo}
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Résoudre le système d'équation de deux manières différentes
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\begin{eqnarray*}
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\left\{%
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\begin{array}[h]{ccc}
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x + 2y + 3z &=& 1 \\
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-2x + 4y + z &=& 2 \\
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|
x + 18y + 17z &=& 9
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\end{array}\right.
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\end{eqnarray*}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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Soit $A = \left(%
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\begin{array}[h]{cccc}
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1 & 0 & 1 & 0 \\
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0 & 1 & 0 & 1 \\
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-2 & 4 & 4 & -2 \\
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1 & 1 & 1 & 1
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\end{array} \right)$
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\begin{enumerate}
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\item Trouver les matrices $B \in \M_4(\R)$ telles que $AB = 0$.
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\item Trouver les matrices $B \in \M_4(\R)$ telles que $ABA = A$
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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Trouve les matrices qui commutent avec
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\begin{eqnarray*}
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A = \left(%
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\begin{array}[h]{ccc}
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2 & 1 & 1 \\
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1 & 2 & 1 \\
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0 & 0 & 3
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\end{array}\right)
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\end{eqnarray*}
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\end{Exo}
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\subsection{Noyau, image, rang}
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\begin{verbatim}
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> Rank(A) # Donne le rang de A
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> ColumnSpace(A) # Calcule une base de l'image de A
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> NullSpace(A) # Calcule une base du noyau de A
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\end{verbatim}
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\begin{Exo}
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Refaire l'exercice 1
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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Pour tout $n \in \N*$, on définit $A_n$ de manière suivante
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\begin{eqnarray*}
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(A_n)_{ij} = (i+j)^3
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\end{eqnarray*}
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\begin{enumerate}
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\item Écrire une procédure prenant $n$ en argument et renvoyant la matrice $A_n$.
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\item Conjecturer la valeur du rang de $A_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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