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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Suites}
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\author{}
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\date{3 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{Exo}(9 points)\\
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% QCM
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L'exercice suivant est un QCM. La notation est la suivante:
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\begin{itemize}
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\item +1.5 si la réponse est juste.
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\item 0 s'il n'y a pas de réponse.
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\item -0.5 si la réponse est fausse.
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\end{itemize}
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On ne demande pas de justifier votre réponse. Il y a un seule réponse possible. Si à la fin de l'exercice vous avec une note négative, elle sera mise à zéro dans la note finale du devoir.
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\begin{enumerate}
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\item Soit $u$ la suite définie de la manière suivante: pour tout $n\in \N$, $u_n = -4n + 2$. La suite $u$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) croissante \hspace{2cm} b) constante \hspace{2cm} c) décroissante
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $v$ la suite définie de la manière suivante: $v_0 = -2$ et $v_n = 2 v_{n+1}$. La suite $v$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) croissante \hspace{2cm} b) constante \hspace{2cm} c) décroissante
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ la suite définie par de la manière suivante: pour tout $n \in \N, \quad u_n = 10 (\frac{1}{2})^{n-2}$. La suite $u$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) géométrique \hspace{2cm} b) arithmétique \hspace{2cm} c) ni géométrique ni arithmétique
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ la suite définie par de la manière suivante: $u_0 = 2$ pour tout $n \in \N, \quad u_{n+1} = \frac{u_n - 3}{2} $. La suite $u$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ \hspace{2cm} b) arithmétique de raison $\frac{-3}{2}$ \hspace{2cm} c) pas arithmétique
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ la suite définie de la manière suivante: $u_n = \frac{n}{n+1} - \frac{1}{n+2}$. On peut alors réécrire $u_{n+1}$ de la manière
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\medskip
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\begin{center}
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a) $u_{n+1} = \dfrac{n^2 + 3n + 5}{(n+2)(n+3)}$ \hspace{1cm} b) $u_{n+1} = \dfrac{2n^2 + 4n + 1}{(n+1)(n+2)}$ \hspace{1cm} c) $u_{n+1} = \dfrac{n^2 + 3n + 1}{n^2 + 5n + 6}$
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ une suite géométrique dont on connait deux valeurs $u_3 = 20$ et $u_{10} = 30$. On note $q$ la raison de cette suite. On a alors
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\medskip
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\begin{center}
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a) $q \approx 1.06$ \hspace{2cm} b) $q \approx -1,06$ \hspace{2cm} c) $q = \sqrt{\dfrac{3}{2}} $
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\end{center}
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\bigskip
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\pagebreak
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\begin{Exo}(11 points) \\
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% Problème sur les suites
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Un immeuble est infesté de cafards. Les habitants en ont marre et décident de mettre fin à la prolifération. Ils contactent une entreprise qui leurs propose deux solutions:
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\begin{itemize}
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\item La première est à base de pièges. Elle permet de tuer régulièrement 30 cafards par mois.
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\item La deuxième est à base de produits chimique. Elle permet de tuer 30\% des cafards tous les mois.
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\end{itemize}
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Nous allons comparer ces deux solutions.
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En Janvier 2010, on comptait 100 cafards. Et on estime qu'il n'y a plus de cafards quand il en reste moins de 10.
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Étude de la solution avec piège}
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\begin{enumerate}
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\item Modéliser par une suite (notée $u$) l'évolution de la population de cafards si la première solution est retenue (on ne demande pas de calculer le premier terme ni la raison). Justifier.
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\item Calculer le premier terme de la suite et la raison.
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\item Donner la formule explicite de la suite.
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\item Combien de cafards restera-t-il en avril?
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\item À partir de quel mois, pourra-t-on considérer qu'il n'y a plus de cafards?
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Étude de la solution avec des produits chimiques}
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\begin{enumerate}
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\item Modéliser par une suite (notée $v$) l'évolution de la population de cafards si la première solution est retenue (on ne demande pas de calculer le premier terme ni la raison). Justifier.
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\item Calculer le premier terme de la suite et la raison.
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\item Donner la formule explicite de la suite.
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\item Combien de cafards restera-t-il en avril?
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\item À partir de quel mois, pourra-t-on considérer qu'il n'y a plus de cafards?
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Comparaison des deux solutions}
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\begin{enumerate}
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\item Tracer sur le même graphique l'évolution sur 6 mois de la population de cafard si les pièges sont choisis ou si les produits chimiques sont choisis.
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\item Quelle est la solution la plus rapide pour cet immeuble?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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