\documentclass[a4paper,12pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/tools/style/classDS}
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/2013_2014}

% Title Page
\titre{3}
% \quatreC \quatreD \troisB \troisPro
\classe{\quatreC}
\date{13 janvier 2014}
\duree{1 heure}
\sujet{1}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DSCorr}

\begin{document}
\maketitle


\begin{Exo}[4]
    \begin{enumerate}
        \item Vérifions si le triangle $ABC$ est rectangle:
            \begin{eqnarray*}
                 AB^2 & = & 15\times15  = 225 \\
                 AC^2 & = & 17\times17 = 289 \\
                 BC^2 & = & 7 \times 7 = 49
            \end{eqnarray*}
            On ajoute le carré des longueurs des deux plus petits côtés: $AB^2 + BC^2 = 225 + 49 = 274 \neq 289 = AC^2$. Donc d'après le théorème de Pythagore, \textbf{le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.}

        \item Vérifions si le triangle $EFG$ est rectangle:
            \begin{eqnarray*}
                 EF^2 & = & 0.9\times0.9  = 0.81 \\
                 FG^2 & = & 4\times4 =  16\\
                 GE^2 & = & 4.1 \times 4.1 = 16.81
            \end{eqnarray*}
            On ajoute le carré des longueurs des deux plus petits côtés: $EF^2 + FG^2 = 0.81 + 16 = 16.81 = GE^2$. Donc d'après le théorème de Pythagore, le triangle $EFG$ est rectangle en $F$. Et l'hypoténuse est $[GE]$.
    \end{enumerate}
\end{Exo} 

\begin{Exo}[5]
    Calculer sans utiliser de nombres à virgule,les opérations suivantes:

    \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}
    \begin{eqnarray*}
        A & = & \frac{9}{10}-\frac{-13}{10} \\
        A & = & \frac{ 9  -  (-13) }{ 10 } \\
        A & = & \frac{ 9  +  13 }{ 10 } \\
        A & = & \frac{ 22 }{ 10 } \\
        A & = & \frac{ 11  \times  2 }{ 5  \times  2 } \\
        A & = & \frac{ 11 }{ 5 }
    \end{eqnarray*}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}
    \begin{eqnarray*}
        B & = & -\frac{11}{5}-\frac{-2}{6} \\
        B & = & \frac{-11 \times 6}{5 \times 6} - \frac{-2 \times 5}{6 \times 5} \\
        B & = & \frac{-66}{30} - \frac{-10}{30} \\
        B & = & \frac{-66 - (-10)}{30} \\
        B & = & \frac{-56}{30} \\
        B & = & \frac{-28 \times 2}{15 \times 2} \\
        B & = & \frac{-28}{15}
    \end{eqnarray*}
    \end{minipage}

    \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}
    \begin{eqnarray*}
        C & = & 10 \times \frac{-1}{13} \\
        C & = & \frac{ 10  \times  ( -10 ) }{ 13 } \\
        C & = & \frac{ -100 }{ 13 }
    \end{eqnarray*}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}
    \begin{eqnarray*}
        D & = & -9 \times \frac{-2}{11} + \frac{1}{11} \\
        D & = & \frac{ ( -9 )  \times  ( -2 ) }{ 11 }  +  \frac{ 1 }{ 11 } \\
        D & = & \frac{ 18 }{ 11 }  +  \frac{ 1 }{ 11 } \\
        D & = & \frac{ 18  +  1 }{ 11 } \\
        D & = & \frac{ 19 }{ 11 }
    \end{eqnarray*}
    \end{minipage}
\end{Exo}

\begin{Exo}[5]
    \begin{enumerate}
        \item Quantité d'éléments liquides:
            \begin{eqnarray*}
                \frac{3}{50} + \frac{1}{4} & = & \frac{ 3  \times  2 }{ 50  \times  2 }  +  \frac{ 1  \times  25 }{ 4  \times  25 } \\
                & = & \frac{ 6  +  25 }{ 100 }\\
                & = & \frac{ 31 }{ 100 }
            \end{eqnarray*}
            Il y a $\frac{31}{100}$L d'éléments liquides.
            
        \item Comme la recette de ce cocktail est donnée pour 3 personnes, il faut multiplier les quantités par 5 pour en faire pour 15 personnes.
            \begin{eqnarray*}
                5 \times \frac{1}{4} & = & \frac{5 \times 1}{4} \\
                & = & \frac{5}{4} \\
            \end{eqnarray*}
            Il faudra donc $\frac{5}{4}$L de jus de pommes.

        \item Comme la recette du cocktail est donnée pour 3 personnes, il faut diviser les quantités par 3 pour en faire pour une personne.
            \begin{eqnarray*}
                \frac{3}{50} : 3 & = & \frac{3}{50\times 3} = \frac{1}{50}
            \end{eqnarray*}
            Il faudra donc $\frac{1}{50}$L de jus de citron.
            
            
        \item Maintenant que l'on connait les quantités de jus de citron pour faire le cocktail pour une personne, il suffit de multiplier cette quantité par 2 pour avoir la quantité pour 2 personnes.
            \begin{eqnarray*}
                2 \times \frac{1}{50} = \frac{2 \times 1}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}
            \end{eqnarray*}
            Il faudra donc $\frac{1}{25}$L de jus de citron.
            
        \item Quantité d'éléments liquides dans cette nouvelle recette:
            \begin{eqnarray*}
                \frac{31}{100} + \frac{4}{15} & = & \frac{ 31  \times  3 }{ 100  \times  3 }  +  \frac{ 4  \times  20 }{ 15  \times  20 } \\
                & = &\frac{ 93  +  80 }{ 300 } \\
                & = &\frac{ 173 }{ 300 }
            \end{eqnarray*}
            Dans cette nouvelle recette, il y aura $\frac{173}{300}$L d'éléments liquides.
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}[3]
    \begin{eqnarray*}
        A = -7x^2 + 2x + 6 & = & -7\times 9^2 + 2 \times 9 + 6 \\
        A & = & -7 \times 81 + 18 + 6 \\
        A & = & -567 + 24 \\
        A & = & - 543
    \end{eqnarray*}
    \begin{eqnarray*}
        B = -9x(8x + 9) & = & -9 \times 5 \times ( 8 \times 5 + 9 ) \\
        B & = & ( -9 )  \times  5  \times  ( 8  \times  5  +  9 ) \\
        B & = & ( -45 )  \times  ( 40  +  9 ) \\
        B & = & ( -45 )  \times  49 \\
        B & = & -2205
    \end{eqnarray*}
\end{Exo}


\begin{Exo}
    \exo{Bonus}
    \begin{enumerate}
        \item pour compter la fraction de vélos rouges ou noirs, il faut ajouter les fractions correspondant aux deux groupes:
            \begin{eqnarray*}
                \frac{4}{11} + \frac{3}{22} & = & \frac{8}{22} + \frac{3}{22} \\
                & = & \frac{8 + 3}{22} = \frac{11}{22} \\
                &=& \frac{1}{2}
            \end{eqnarray*}
            Donc la moitié des vélos sont soit rouge soit noirs.
        \item La fraction du reste des vélos est donc elle aussi de $\frac{1}{2}$. Parmi ces derniers, $\frac{5}{11}$ sont des vélos blancs donc en tout la fraction de vélos blancs est de
            \begin{eqnarray*}
                \frac{1}{2} \times \frac{5}{11} & = & \frac{1\times5}{2\ties11} = \frac{5}{22}
            \end{eqnarray*}
        \item Fractions de vélos soit rouges, soit noirs, soit blancs:
            \begin{eqnarray*}
                \frac{11}{22} + \frac{5}{22} & = & \frac{11 + 5}{22} = \frac{16}{22} = \frac{8}{11}
            \end{eqnarray*}
            Donc la fraction des vélos ni rouges, ni noirs ni blancs est de
            \begin{eqnarray*}
                1 - \frac{8}{11} & = & \frac{11}{11} - \frac{8}{11°\\
                    &=& \frac{11 - 8}{11}\\
                    &=& \frac{3}{11}
            \end{eqnarray*}
            Les vélos ni rouges ni noirs ni blancs représentent $\frac{3}{11}$.
            
            
            
            
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}

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