\documentclass[a4paper,12pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/tools/style/classDS} \usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/2013_2014} % Title Page \titre{3} % \quatreC \quatreD \troisB \troisPro \classe{\quatreC} \date{13 janvier 2014} \duree{1 heure} \sujet{1} % DS DSCorr DM DMCorr Corr \typedoc{DSCorr} \begin{document} \maketitle \begin{Exo}[4] \begin{enumerate} \item Vérifions si le triangle $ABC$ est rectangle: \begin{eqnarray*} AB^2 & = & 15\times15 = 225 \\ AC^2 & = & 17\times17 = 289 \\ BC^2 & = & 7 \times 7 = 49 \end{eqnarray*} On ajoute le carré des longueurs des deux plus petits côtés: $AB^2 + BC^2 = 225 + 49 = 274 \neq 289 = AC^2$. Donc d'après le théorème de Pythagore, \textbf{le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.} \item Vérifions si le triangle $EFG$ est rectangle: \begin{eqnarray*} EF^2 & = & 0.9\times0.9 = 0.81 \\ FG^2 & = & 4\times4 = 16\\ GE^2 & = & 4.1 \times 4.1 = 16.81 \end{eqnarray*} On ajoute le carré des longueurs des deux plus petits côtés: $EF^2 + FG^2 = 0.81 + 16 = 16.81 = GE^2$. Donc d'après le théorème de Pythagore, le triangle $EFG$ est rectangle en $F$. Et l'hypoténuse est $[GE]$. \end{enumerate} \end{Exo} \begin{Exo}[5] Calculer sans utiliser de nombres à virgule,les opérations suivantes: \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \begin{eqnarray*} A & = & \frac{9}{10}-\frac{-13}{10} \\ A & = & \frac{ 9 - (-13) }{ 10 } \\ A & = & \frac{ 9 + 13 }{ 10 } \\ A & = & \frac{ 22 }{ 10 } \\ A & = & \frac{ 11 \times 2 }{ 5 \times 2 } \\ A & = & \frac{ 11 }{ 5 } \end{eqnarray*} \end{minipage} \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \begin{eqnarray*} B & = & -\frac{11}{5}-\frac{-2}{6} \\ B & = & \frac{-11 \times 6}{5 \times 6} - \frac{-2 \times 5}{6 \times 5} \\ B & = & \frac{-66}{30} - \frac{-10}{30} \\ B & = & \frac{-66 - (-10)}{30} \\ B & = & \frac{-56}{30} \\ B & = & \frac{-28 \times 2}{15 \times 2} \\ B & = & \frac{-28}{15} \end{eqnarray*} \end{minipage} \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \begin{eqnarray*} C & = & 10 \times \frac{-1}{13} \\ C & = & \frac{ 10 \times ( -10 ) }{ 13 } \\ C & = & \frac{ -100 }{ 13 } \end{eqnarray*} \end{minipage} \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \begin{eqnarray*} D & = & -9 \times \frac{-2}{11} + \frac{1}{11} \\ D & = & \frac{ ( -9 ) \times ( -2 ) }{ 11 } + \frac{ 1 }{ 11 } \\ D & = & \frac{ 18 }{ 11 } + \frac{ 1 }{ 11 } \\ D & = & \frac{ 18 + 1 }{ 11 } \\ D & = & \frac{ 19 }{ 11 } \end{eqnarray*} \end{minipage} \end{Exo} \begin{Exo}[5] \begin{enumerate} \item Quantité d'éléments liquides: \begin{eqnarray*} \frac{3}{50} + \frac{1}{4} & = & \frac{ 3 \times 2 }{ 50 \times 2 } + \frac{ 1 \times 25 }{ 4 \times 25 } \\ & = & \frac{ 6 + 25 }{ 100 }\\ & = & \frac{ 31 }{ 100 } \end{eqnarray*} Il y a $\frac{31}{100}$L d'éléments liquides. \item Comme la recette de ce cocktail est donnée pour 3 personnes, il faut multiplier les quantités par 5 pour en faire pour 15 personnes. \begin{eqnarray*} 5 \times \frac{1}{4} & = & \frac{5 \times 1}{4} \\ & = & \frac{5}{4} \\ \end{eqnarray*} Il faudra donc $\frac{5}{4}$L de jus de pommes. \item Comme la recette du cocktail est donnée pour 3 personnes, il faut diviser les quantités par 3 pour en faire pour une personne. \begin{eqnarray*} \frac{3}{50} : 3 & = & \frac{3}{50\times 3} = \frac{1}{50} \end{eqnarray*} Il faudra donc $\frac{1}{50}$L de jus de citron. \item Maintenant que l'on connait les quantités de jus de citron pour faire le cocktail pour une personne, il suffit de multiplier cette quantité par 2 pour avoir la quantité pour 2 personnes. \begin{eqnarray*} 2 \times \frac{1}{50} = \frac{2 \times 1}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} \end{eqnarray*} Il faudra donc $\frac{1}{25}$L de jus de citron. \item Quantité d'éléments liquides dans cette nouvelle recette: \begin{eqnarray*} \frac{31}{100} + \frac{4}{15} & = & \frac{ 31 \times 3 }{ 100 \times 3 } + \frac{ 4 \times 20 }{ 15 \times 20 } \\ & = &\frac{ 93 + 80 }{ 300 } \\ & = &\frac{ 173 }{ 300 } \end{eqnarray*} Dans cette nouvelle recette, il y aura $\frac{173}{300}$L d'éléments liquides. \end{enumerate} \end{Exo} \begin{Exo}[3] \begin{eqnarray*} A = -7x^2 + 2x + 6 & = & -7\times 9^2 + 2 \times 9 + 6 \\ A & = & -7 \times 81 + 18 + 6 \\ A & = & -567 + 24 \\ A & = & - 543 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} B = -9x(8x + 9) & = & -9 \times 5 \times ( 8 \times 5 + 9 ) \\ B & = & ( -9 ) \times 5 \times ( 8 \times 5 + 9 ) \\ B & = & ( -45 ) \times ( 40 + 9 ) \\ B & = & ( -45 ) \times 49 \\ B & = & -2205 \end{eqnarray*} \end{Exo} \begin{Exo} \exo{Bonus} \begin{enumerate} \item pour compter la fraction de vélos rouges ou noirs, il faut ajouter les fractions correspondant aux deux groupes: \begin{eqnarray*} \frac{4}{11} + \frac{3}{22} & = & \frac{8}{22} + \frac{3}{22} \\ & = & \frac{8 + 3}{22} = \frac{11}{22} \\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray*} Donc la moitié des vélos sont soit rouge soit noirs. \item La fraction du reste des vélos est donc elle aussi de $\frac{1}{2}$. Parmi ces derniers, $\frac{5}{11}$ sont des vélos blancs donc en tout la fraction de vélos blancs est de \begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \times \frac{5}{11} & = & \frac{1\times5}{2\ties11} = \frac{5}{22} \end{eqnarray*} \item Fractions de vélos soit rouges, soit noirs, soit blancs: \begin{eqnarray*} \frac{11}{22} + \frac{5}{22} & = & \frac{11 + 5}{22} = \frac{16}{22} = \frac{8}{11} \end{eqnarray*} Donc la fraction des vélos ni rouges, ni noirs ni blancs est de \begin{eqnarray*} 1 - \frac{8}{11} & = & \frac{11}{11} - \frac{8}{11°\\ &=& \frac{11 - 8}{11}\\ &=& \frac{3}{11} \end{eqnarray*} Les vélos ni rouges ni noirs ni blancs représentent $\frac{3}{11}$. \end{enumerate} \end{Exo} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: