\documentclass[a4paper,12pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/tools/style/classDS}
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% Title Page
\titre{7}
% \quatreC \quatreD \troisB \troisPro
\classe{\quatreC}
\date{20 mars 2014}
\duree{1 heure}
\sujet{1}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DS}

%\printanswers

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Des points sont réservés à présentation.

\begin{questions}
    
    \question[4]
    Des électriciens veulent poser un câble électrique entre deux poteaux. Le sommet du premier poteaux se trouve à 5m du sol alors que le sommet du deuxième se trouve à 8m. Les deux poteaux sont séparés de 15m.
    \begin{parts}
        \part Faire un schéma de la situation.
        \begin{solution}
            \begin{center}
                \includegraphics[scale=0.4]{./fig/poteau}
            \end{center}
        \end{solution}
        \part Quelle est la longueur de câble devront-ils prévoir s'ils veulent relier le sommet des deux poteaux?
    \begin{solution}
        D'après le dessin, on remarque que $AB = 8 - 5 = 3m$. \\
        D'après le dessin, on a le triangle $ABC$ rectangle en $A$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a
        \begin{eqnarray*}
            BC^2 &=& AB^2 + AC^2 \\
            BC^2 &=& 3^2 + 15^2 \\
            BC^2 &=& 9 + 225 \\
            BC^2 &=& 234 \\
            BC &=& \sqrt{234} \approx 15,3
        \end{eqnarray*}
        Donc la tyrolienne fait 15,3m de long.
    \end{solution}
    \end{parts}


    \question[6]
    On veut construire un local de la forme suivante:
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.2]{./fig/local}
    \end{center}
    Les pièces utilisés pour la construction sont choisis de tel sorte que 
    \begin{eqnarray*}
        AF = EB = DC \hspace{2cm} AB = EF \hspace{2cm} BC = ED = GH
    \end{eqnarray*}
    \begin{parts}
        \part Pour s'assurer que le local est bien droit, On mesure $BD$ et on trouve $BD = 25m$. 
        \begin{subparts}
            \subpart Démontrer que $BCD$ est un triangle rectangle.
            \begin{solution}
                D'une part, $BC^2 + DC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$.

                D'autre part, $BD^2 = 25^2 = 625$.

                Donc on a $BD^2 = BD^2 + DC^2$ donc d'après le réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $BCD$ est rectangle en $C$.
            \end{solution}
            \subpart Démontrer que $BEDC$ est un rectangle.
            \begin{solution}
                Comme $EB = DC$ et que $ED = BC$, le quadrilatère $EDCB$ est un parallélogramme. Or si un parallélogramme a un angle droit, c'est un rectangle. Donc $EDCB$ est un rectangle.
            \end{solution}
        \end{subparts}
        \part On veut installer des panneaux solaires sur le toit.
        \begin{subparts}
            \subpart Calculer la distance $GE$.
            \begin{solution}
                On sait que le triangle $FGE$ est un triangle rectangle en $G$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a 
                \begin{eqnarray*}
                    FE^2 &=& FG^2 + GE^2 \\
                    FG^2 &=& FE^2 - GE^2 \\
                    FG^2 &=& 5^2 - 2^2 \\
                    FG^2 &=& 25 - 4 \\
                    FG^2 &=& 21 \\
                    FG &=& \sqrt{21} \approx 4,6
                \end{eqnarray*}
                Donc $GE = 4,6m$.

            \end{solution}
            \subpart Quelle est l'aire du toit du local?
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    \mathcal{A} = GE \times ED = 4,6 \times 24 \approx 110 
                \end{eqnarray*}
                L'aire du toit est $110m^2$

            \end{solution}
        \end{subparts}
    \end{parts}

    \question[4]
    Voici un programme de calcul.

		\fbox{\colorbox{base2}{
				\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}
						\textbf{Programme A} \\ Choisir un nombre \\ Multiplier par 3 \\ Ajouter 4 \\ Multiplier par 4 \\ Enlever 16
				\end{minipage}
				}
		}
            \begin{parts}
                \part Montrer que si l'on applique le programme à -1 on trouve -12.
                \begin{solution}
                    \begin{eqnarray*}
                    -1 \stackrel{\times3}{\longrightarrow} -3 \stackrel{+4}{\longrightarrow} 1 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} 4 \stackrel{-16}{\longrightarrow} -12
                    \end{eqnarray*}
                \end{solution}
                \part Appliquer le programme à 3.
                \begin{solution}
                    \begin{eqnarray*}
                    3 \stackrel{\times3}{\longrightarrow} 9 \stackrel{+4}{\longrightarrow} 13 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} 52 \stackrel{-16}{\longrightarrow} 36
                    \end{eqnarray*}
                \end{solution}
                \part Appliquer le programme à $x$. Montrer que l'on trouve $(3x + 4)\times 4 - 16$.
                \begin{solution}
                    \begin{eqnarray*}
                    x \stackrel{\times3}{\longrightarrow} 3x \stackrel{+4}{\longrightarrow} 3x+4 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} (3x+4)\times4 \stackrel{-16}{\longrightarrow} (3x+4)\times 4 - 16
                    \end{eqnarray*}
                \end{solution}
                \part Développer l'expression trouvée à la question précédente.
                \begin{solution}
                    \begin{eqnarray*}
                        (3x+4)\times4 - 16 & = & 3x\times4 + 4\times 4 - 16 \\
                            &=& 12x + 16 - 16 \\
                            &=& 12x
                    \end{eqnarray*}
                    
                \end{solution}
                \part Si le programme ne faisait qu'une seule transformation, quelle serait elle?
                \begin{solution}
                    D'après la question précédente, appliquer tout le programme à $x$ revient à multiplier $x$ par 12. Donc si le programme ne faisait qu'une seule transformation, ce serait de multiplier par 12.
                \end{solution}
            \end{parts}
            

        \question[5]
        Voici une expression: \hspace{2cm} $A  = 6(2x - 1) $
        \begin{parts}
            \part Évaluer $A$ pour $x = 4$.
            \begin{solution}
                On remplace $x$ par 4 dans l'expression de $A$.
                \begin{eqnarray*}
                    A &=& 6 \times ( 2 \times 3  -  1 ) \\
                    A &=& 6 \times ( 6  -  1 ) \\
                    A &=& 6 \times 5 \\
                    A &=& 30
                \end{eqnarray*}
                
            \end{solution}
            \part Développer puis réduire $A$.
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    A & = & 6(2x - 1) \\
                    A & = & 6\times 2x + 6 \times (-1) \\
                    A & = & 12x - 6
                \end{eqnarray*}
                
            \end{solution}
        \end{parts}
        

    \question
    \exo{Bonus}
        Voici deux expressions.
        \begin{eqnarray*}
            B = 2(2x -4) + 4x(3 + 5x) \hspace{2cm} C = -(3x + 7) - 5x + 4
        \end{eqnarray*}
        \begin{parts}
            \part Évaluer $B$ pour $x = 2$.
            \part Développer puis réduire $B$ et $C$.
        \end{parts}

\end{questions}

\end{document}

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%%% End:

