\documentclass[a4paper,12pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/tools/style/classDS} \usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/2013_2014} % Title Page \titre{7} % \quatreC \quatreD \troisB \troisPro \classe{\quatreC} \date{20 mars 2014} \duree{1 heure} \sujet{1} % DS DSCorr DM DMCorr Corr \typedoc{DS} %\printanswers \begin{document} \maketitle Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Des points sont réservés à présentation. \begin{questions} \question[4] Des électriciens veulent poser un câble électrique entre deux poteaux. Le sommet du premier poteaux se trouve à 5m du sol alors que le sommet du deuxième se trouve à 8m. Les deux poteaux sont séparés de 15m. \begin{parts} \part Faire un schéma de la situation. \begin{solution} \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{./fig/poteau} \end{center} \end{solution} \part Quelle est la longueur de câble devront-ils prévoir s'ils veulent relier le sommet des deux poteaux? \begin{solution} D'après le dessin, on remarque que $AB = 8 - 5 = 3m$. \\ D'après le dessin, on a le triangle $ABC$ rectangle en $A$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a \begin{eqnarray*} BC^2 &=& AB^2 + AC^2 \\ BC^2 &=& 3^2 + 15^2 \\ BC^2 &=& 9 + 225 \\ BC^2 &=& 234 \\ BC &=& \sqrt{234} \approx 15,3 \end{eqnarray*} Donc la tyrolienne fait 15,3m de long. \end{solution} \end{parts} \question[6] On veut construire un local de la forme suivante: \begin{center} \includegraphics[scale=0.2]{./fig/local} \end{center} Les pièces utilisés pour la construction sont choisis de tel sorte que \begin{eqnarray*} AF = EB = DC \hspace{2cm} AB = EF \hspace{2cm} BC = ED = GH \end{eqnarray*} \begin{parts} \part Pour s'assurer que le local est bien droit, On mesure $BD$ et on trouve $BD = 25m$. \begin{subparts} \subpart Démontrer que $BCD$ est un triangle rectangle. \begin{solution} D'une part, $BC^2 + DC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$. D'autre part, $BD^2 = 25^2 = 625$. Donc on a $BD^2 = BD^2 + DC^2$ donc d'après le réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $BCD$ est rectangle en $C$. \end{solution} \subpart Démontrer que $BEDC$ est un rectangle. \begin{solution} Comme $EB = DC$ et que $ED = BC$, le quadrilatère $EDCB$ est un parallélogramme. Or si un parallélogramme a un angle droit, c'est un rectangle. Donc $EDCB$ est un rectangle. \end{solution} \end{subparts} \part On veut installer des panneaux solaires sur le toit. \begin{subparts} \subpart Calculer la distance $GE$. \begin{solution} On sait que le triangle $FGE$ est un triangle rectangle en $G$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a \begin{eqnarray*} FE^2 &=& FG^2 + GE^2 \\ FG^2 &=& FE^2 - GE^2 \\ FG^2 &=& 5^2 - 2^2 \\ FG^2 &=& 25 - 4 \\ FG^2 &=& 21 \\ FG &=& \sqrt{21} \approx 4,6 \end{eqnarray*} Donc $GE = 4,6m$. \end{solution} \subpart Quelle est l'aire du toit du local? \begin{solution} \begin{eqnarray*} \mathcal{A} = GE \times ED = 4,6 \times 24 \approx 110 \end{eqnarray*} L'aire du toit est $110m^2$ \end{solution} \end{subparts} \end{parts} \question[4] Voici un programme de calcul. \fbox{\colorbox{base2}{ \begin{minipage}[h]{0.4\textwidth} \textbf{Programme A} \\ Choisir un nombre \\ Multiplier par 3 \\ Ajouter 4 \\ Multiplier par 4 \\ Enlever 16 \end{minipage} } } \begin{parts} \part Montrer que si l'on applique le programme à -1 on trouve -12. \begin{solution} \begin{eqnarray*} -1 \stackrel{\times3}{\longrightarrow} -3 \stackrel{+4}{\longrightarrow} 1 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} 4 \stackrel{-16}{\longrightarrow} -12 \end{eqnarray*} \end{solution} \part Appliquer le programme à 3. \begin{solution} \begin{eqnarray*} 3 \stackrel{\times3}{\longrightarrow} 9 \stackrel{+4}{\longrightarrow} 13 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} 52 \stackrel{-16}{\longrightarrow} 36 \end{eqnarray*} \end{solution} \part Appliquer le programme à $x$. Montrer que l'on trouve $(3x + 4)\times 4 - 16$. \begin{solution} \begin{eqnarray*} x \stackrel{\times3}{\longrightarrow} 3x \stackrel{+4}{\longrightarrow} 3x+4 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} (3x+4)\times4 \stackrel{-16}{\longrightarrow} (3x+4)\times 4 - 16 \end{eqnarray*} \end{solution} \part Développer l'expression trouvée à la question précédente. \begin{solution} \begin{eqnarray*} (3x+4)\times4 - 16 & = & 3x\times4 + 4\times 4 - 16 \\ &=& 12x + 16 - 16 \\ &=& 12x \end{eqnarray*} \end{solution} \part Si le programme ne faisait qu'une seule transformation, quelle serait elle? \begin{solution} D'après la question précédente, appliquer tout le programme à $x$ revient à multiplier $x$ par 12. Donc si le programme ne faisait qu'une seule transformation, ce serait de multiplier par 12. \end{solution} \end{parts} \question[5] Voici une expression: \hspace{2cm} $A = 6(2x - 1) $ \begin{parts} \part Évaluer $A$ pour $x = 4$. \begin{solution} On remplace $x$ par 4 dans l'expression de $A$. \begin{eqnarray*} A &=& 6 \times ( 2 \times 3 - 1 ) \\ A &=& 6 \times ( 6 - 1 ) \\ A &=& 6 \times 5 \\ A &=& 30 \end{eqnarray*} \end{solution} \part Développer puis réduire $A$. \begin{solution} \begin{eqnarray*} A & = & 6(2x - 1) \\ A & = & 6\times 2x + 6 \times (-1) \\ A & = & 12x - 6 \end{eqnarray*} \end{solution} \end{parts} \question \exo{Bonus} Voici deux expressions. \begin{eqnarray*} B = 2(2x -4) + 4x(3 + 5x) \hspace{2cm} C = -(3x + 7) - 5x + 4 \end{eqnarray*} \begin{parts} \part Évaluer $B$ pour $x = 2$. \part Développer puis réduire $B$ et $C$. \end{parts} \end{questions} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: