\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS} \usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015} \usepackage{tkz-tab} % Title Page \titre{DS 4} % \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG \classe{\premiereS} \date{15 décembre 2014} \duree{1 heure} %\sujet{%{{infos.subj%}}} % DS DSCorr DM DMCorr Corr \typedoc{DS} \printanswers \begin{document} \maketitle Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. \begin{questions} \question[5] \includegraphics[scale=0.35]{./fig/dessin} $ABCD$ est un carré de centre $O$. Les points $E$, $F$, $G$ et $H$ sont les milieux respectifs des cotés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. \begin{parts} \part Citer deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$. \begin{solution} Deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$: $\vec{HF}$ et $\vec{DC}$. \end{solution} \part Donner un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ mais qui ne lui soit pas égal. \begin{solution} $\vec{BD}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ car il a la même direction mais pas la même norme. \end{solution} \part En laissant les traits de construction, placer le point $M$ tel que $\vec{AM} = \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$. \part On suppose que l'origine du repère est $O$ et que $D$ a pour coordonnées $(1;1)$. \begin{subparts} \subpart Calculer les coordonnées de $\vec{ED}$ \begin{solution} Coordonnée de $\vec{ED}$: \begin{eqnarray*} \vec{ED} & = & \vectCoord{x_D - x_E}{y_D - y_E} \\ &=& \vectCoord{1 - (-1)}{1 - 0}\\ &=& \vectCoord{2}{1} \end{eqnarray*} \end{solution} \subpart Calculer les coordonnées de $M$. \begin{solution} \begin{eqnarray*} \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC} & = & \vectCoord{2}{1} - \vectCoord{1}{1} + 3\vectCoord{0}{-1} \\ &=& \vectCoord{2 - 1 + 3\times 0}{1 - 1 + 3 \times (-1)} \\ &=& \vectCoord{1}{-3} \end{eqnarray*} Donc quand on fait subir la transformation $\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$ au point $A$, on obtient les coordonnées sur points $M$: \begin{eqnarray*} x_M & = & x_A + 1 = -1 + 1 = 0\\ y_M & = & y_A - 3 = 1 - 3= -2\\ \end{eqnarray*} Les coordonnées de $M$ sont alors $(0;-2)$. \end{solution} \end{subparts} \end{parts} \question[4] Soit $f$ la fonction $f:x\mapsto - 4x^2 + 5x - 12$ \begin{parts} \part En passant par la dérivée, tracer le tableau de variation de $f$. \begin{solution} Calcul de la dérivé de $f$ \begin{eqnarray*} f'(x) & = & -4 \times 2\times x + 5 + 0 = -8x + 5 \end{eqnarray*} On cherche les valeurs de $x$ tels que $f'$ soit positive \begin{eqnarray*} f'(x) > 0 & \equiv & -8x + 5 > 0 \\ &\equiv& -8x > -5 \\ &\equiv& x > \frac{5}{8} \end{eqnarray*} Car $-8$ est négatif donc on a changé le sens de l'inégalité. Ici $a$ est négatif donc les branches sont orientées vers le bas. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $\frac{5}{8}$, $+\infty$} \tkzTabLine{, + , z, -,} \tkzTabVar{-/{}, +/{$\frac{-167}{16}$}, -/{} } \end{tikzpicture} \end{center} \begin{eqnarray*} f(\frac{5}{8}) & = & -4\times\left( \frac{5}{8} \right)^2 + 5\times \frac{5}{8} - 12 \\ &=& \frac{-668}{64} = \frac{-167}{16} \end{eqnarray*} \end{solution} \part Combien de solution l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle? \begin{solution} D'après le tableau de variations de la question précédente, on remarque que la maximum de $f$ est un nombre négatif. Donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solutions. \end{solution} \end{parts} \question[8] Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3km de son domicile à une vitesse constante de 15km/h. Sur son parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est de $\dfrac{2}{3}$ et celle qu'il soit à l'orange ou au rouge est de $\dfrac{1}{3}$. Un feu rouge ou orange lui font perdre une minute et demi. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours. On appelle $T$ la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l'élève pour se rendre au lycée. \begin{parts} \part \begin{subparts} \subpart Déterminer la loi de probabilité de $X$. Justifier. \begin{solution} $X$ suit une loi binomiale de paramètre 6 et $\frac{2}{3}$. En effet, chaque feu correspond à un épreuve de Bernouilli avec comme succès que le feu soit vert avec probabilité $\frac{2}{3}$. Chacune de ces expériences sont indépendantes (les feux ne sont pas synchronisés). Et on la répète 6 fois. \end{solution} \subpart Est-ce que $T$ suit une loi binomiale? Justifier. \begin{solution} $T$ ne suit pas une loi binomiale car elle mesure un temps et ne compte pas le nombre de succès ou d'échecs. \end{solution} \end{subparts} \part \begin{subparts} \subpart Calculer la probabilité qu'il rencontre exactement 4 feux verts. \begin{solution} Probabilité d'avoir exactement 4 feux verts: \begin{eqnarray*} P(X = 4) & = & \coefBino{6}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\ &\approx& 0.33 \end{eqnarray*} La probabilité qu'il ai exactement 4 feux vert est de 0,33. \end{solution} \subpart Combien de temps mettra-t-il alors pour aller au lycée? \begin{solution} 15km/h correspond à $15:60 = 0,25km/min$. Si le parcourt se fait sans rencontrer de feu rouge (temps minimal de trajet pour parcourir les 3km) \begin{eqnarray*} \frac{3}{0,25} & = & 12 min \end{eqnarray*} Donc s'il rencontre 4 feux vert soit 2 feux rouges ou oranges \begin{eqnarray*} 12 + 2\times1,5 & = & 15min \end{eqnarray*} Il mettra 15 minutes s'il rencontre 2 feux rouges ou oranges. \end{solution} \end{subparts} \part \begin{subparts} \subpart Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat. \begin{solution} Espérance de $X$: Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres 6 et $\frac{2}{3}$, on a \begin{eqnarray*} E[X] & = & 6\times \frac{2}{3} = 4 \end{eqnarray*} En moyenne, il rencontrera 4 feux verts. \end{solution} \subpart Exprimer $T$ en fonction de $X$. \begin{solution} D'après la question 2.b, s'il ne rencontre pas de feux rouges ou orange il met 12 minutes. Chaque feu rouge rencontré lui fait perdre 1,5minutes de plus. Donc \begin{eqnarray*} T & = & 12 + (6-X)\times1,5\\ T &=& 12 + 9 - 1,5X \\ T &=& 21 - 1,5X \end{eqnarray*} \end{solution} \subpart Calculer l'espérance de $T$. Interpréter le résultat. \begin{solution} Espérance de $T$: \begin{eqnarray*} E[T] & = & 21 - 1,5\times E[X]\\ E[T] & = & 21 - 1,5\times 4\\ E[T] &=& 21 - 6 = 15 \end{eqnarray*} Il mettra en moyenne 15 minutes pour aller au lycée. \end{solution} \end{subparts} \part L'élève part 17 minutes avant le début des cours. Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure? \begin{solution} S'il y a que 2 feux verts, son parcours durera 18 minutes. S'il en a 3, son parcours durera 16,5min. Donc il sera en retard, dès que $X \leq 2$. \begin{eqnarray*} P(X\leq 2) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \\ &=& 0,1 \end{eqnarray*} Il a environ une chance sur 10 d'arriver en retard. \end{solution} \end{parts} \question[3] On suppose que $\coefBino{6}{2} = 15$. Vous répondrez aux questions suivantes sans utiliser la calculatrice. \begin{parts} \part Détailler le calcul de $\coefBino{6}{4}$ en rappelant la formule utilisée. \begin{solution} On utilise la formule: $\coefBino{n}{k} = \coefBino{n}{n-k}$. Donc \begin{eqnarray*} \coefBino{6}{4} & = & \coefBino{6}{6-4} = \coefBino{6}{2} = 15 \end{eqnarray*} \end{solution} \part \begin{subparts} \subpart Combien vaut $\coefBino{6}{1}$. \begin{solution} D'après le cours \begin{eqnarray*} \coefBino{6}{1} & = & 6 \end{eqnarray*} \end{solution} \subpart Détailler le calcul de $\coefBino{7}{2}$ en rappelant la formule utilisée.t \begin{solution} On utilise la formule de Pascale: $\coefBino{n+1}{k+1} = \coefBino{n}{k} + \coefBino{n}{k+1}$. Donc en remplaçant $n$ par 6 et $k$ par 1 on obtient \begin{eqnarray*} \coefBino{7}{2} & = & \coefBino{6}{1} + \coefBino{6}{2} = 6 + 15 = 21 \end{eqnarray*} \end{solution} \end{subparts} \end{parts} \end{questions} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: