\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
\titre{DS 4}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{15 décembre 2014}
\duree{1 heure}
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DS}
\printanswers
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
\begin{questions}
\question[5]
\includegraphics[scale=0.35]{./fig/dessin}
$ABCD$ est un carré de centre $O$. Les points $E$, $F$, $G$ et $H$ sont les milieux respectifs des cotés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$.
\begin{parts}
\part Citer deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$.
\begin{solution}
Deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$: $\vec{HF}$ et $\vec{DC}$.
\end{solution}
\part Donner un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ mais qui ne lui soit pas égal.
\begin{solution}
$\vec{BD}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ car il a la même direction mais pas la même norme.
\end{solution}
\part En laissant les traits de construction, placer le point $M$ tel que $\vec{AM} = \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$.
\part On suppose que l'origine du repère est $O$ et que $D$ a pour coordonnées $(1;1)$.
\begin{subparts}
\subpart Calculer les coordonnées de $\vec{ED}$
\begin{solution}
Coordonnée de $\vec{ED}$:
\begin{eqnarray*}
\vec{ED} & = & \vectCoord{x_D - x_E}{y_D - y_E} \\
&=& \vectCoord{1 - (-1)}{1 - 0}\\
&=& \vectCoord{2}{1}
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\subpart Calculer les coordonnées de $M$.
\begin{solution}
\begin{eqnarray*}
\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC} & = & \vectCoord{2}{1} - \vectCoord{1}{1} + 3\vectCoord{0}{-1} \\
&=& \vectCoord{2 - 1 + 3\times 0}{1 - 1 + 3 \times (-1)} \\
&=& \vectCoord{1}{-3}
\end{eqnarray*}
Donc quand on fait subir la transformation $\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$ au point $A$, on obtient les coordonnées sur points $M$:
\begin{eqnarray*}
x_M & = & x_A + 1 = -1 + 1 = 0\\
y_M & = & y_A - 3 = 1 - 3= -2\\
\end{eqnarray*}
Les coordonnées de $M$ sont alors $(0;-2)$.
\end{solution}
\end{subparts}
\end{parts}
\question[4]
Soit $f$ la fonction $f:x\mapsto - 4x^2 + 5x - 12$
\begin{parts}
\part En passant par la dérivée, tracer le tableau de variation de $f$.
\begin{solution}
Calcul de la dérivé de $f$
\begin{eqnarray*}
f'(x) & = & -4 \times 2\times x + 5 + 0 = -8x + 5
\end{eqnarray*}
On cherche les valeurs de $x$ tels que $f'$ soit positive
\begin{eqnarray*}
f'(x) > 0 & \equiv & -8x + 5 > 0 \\
&\equiv& -8x > -5 \\
&\equiv& x > \frac{5}{8}
\end{eqnarray*}
Car $-8$ est négatif donc on a changé le sens de l'inégalité.
Ici $a$ est négatif donc les branches sont orientées vers le bas.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $\frac{5}{8}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, + , z, -,}
\tkzTabVar{-/{}, +/{$\frac{-167}{16}$}, -/{} }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
f(\frac{5}{8}) & = & -4\times\left( \frac{5}{8} \right)^2 + 5\times \frac{5}{8} - 12 \\
&=& \frac{-668}{64} = \frac{-167}{16}
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\part Combien de solution l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle?
\begin{solution}
D'après le tableau de variations de la question précédente, on remarque que la maximum de $f$ est un nombre négatif. Donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solutions.
\end{solution}
\end{parts}
\question[8]
Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3km de son domicile à une vitesse constante de 15km/h. Sur son parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est de $\dfrac{2}{3}$ et celle qu'il soit à l'orange ou au rouge est de $\dfrac{1}{3}$. Un feu rouge ou orange lui font perdre une minute et demi.
On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours.
On appelle $T$ la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l'élève pour se rendre au lycée.
\begin{parts}
\part
\begin{subparts}
\subpart Déterminer la loi de probabilité de $X$. Justifier.
\begin{solution}
$X$ suit une loi binomiale de paramètre 6 et $\frac{2}{3}$. En effet, chaque feu correspond à un épreuve de Bernouilli avec comme succès que le feu soit vert avec probabilité $\frac{2}{3}$. Chacune de ces expériences sont indépendantes (les feux ne sont pas synchronisés). Et on la répète 6 fois.
\end{solution}
\subpart Est-ce que $T$ suit une loi binomiale? Justifier.
\begin{solution}
$T$ ne suit pas une loi binomiale car elle mesure un temps et ne compte pas le nombre de succès ou d'échecs.
\end{solution}
\end{subparts}
\part
\begin{subparts}
\subpart Calculer la probabilité qu'il rencontre exactement 4 feux verts.
\begin{solution}
Probabilité d'avoir exactement 4 feux verts:
\begin{eqnarray*}
P(X = 4) & = & \coefBino{6}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
&\approx& 0.33
\end{eqnarray*}
La probabilité qu'il ai exactement 4 feux vert est de 0,33.
\end{solution}
\subpart Combien de temps mettra-t-il alors pour aller au lycée?
\begin{solution}
15km/h correspond à $15:60 = 0,25km/min$.
Si le parcourt se fait sans rencontrer de feu rouge (temps minimal de trajet pour parcourir les 3km)
\begin{eqnarray*}
\frac{3}{0,25} & = & 12 min
\end{eqnarray*}
Donc s'il rencontre 4 feux vert soit 2 feux rouges ou oranges
\begin{eqnarray*}
12 + 2\times1,5 & = & 15min
\end{eqnarray*}
Il mettra 15 minutes s'il rencontre 2 feux rouges ou oranges.
\end{solution}
\end{subparts}
\part
\begin{subparts}
\subpart Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
\begin{solution}
Espérance de $X$: Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres 6 et $\frac{2}{3}$, on a
\begin{eqnarray*}
E[X] & = & 6\times \frac{2}{3} = 4
\end{eqnarray*}
En moyenne, il rencontrera 4 feux verts.
\end{solution}
\subpart Exprimer $T$ en fonction de $X$.
\begin{solution}
D'après la question 2.b, s'il ne rencontre pas de feux rouges ou orange il met 12 minutes. Chaque feu rouge rencontré lui fait perdre 1,5minutes de plus. Donc
\begin{eqnarray*}
T & = & 12 + (6-X)\times1,5\\
T &=& 12 + 9 - 1,5X \\
T &=& 21 - 1,5X
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\subpart Calculer l'espérance de $T$. Interpréter le résultat.
\begin{solution}
Espérance de $T$:
\begin{eqnarray*}
E[T] & = & 21 - 1,5\times E[X]\\
E[T] & = & 21 - 1,5\times 4\\
E[T] &=& 21 - 6 = 15
\end{eqnarray*}
Il mettra en moyenne 15 minutes pour aller au lycée.
\end{solution}
\end{subparts}
\part L'élève part 17 minutes avant le début des cours. Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure?
\begin{solution}
S'il y a que 2 feux verts, son parcours durera 18 minutes. S'il en a 3, son parcours durera 16,5min. Donc il sera en retard, dès que $X \leq 2$.
\begin{eqnarray*}
P(X\leq 2) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \\
&=& 0,1
\end{eqnarray*}
Il a environ une chance sur 10 d'arriver en retard.
\end{solution}
\end{parts}
\question[3]
On suppose que $\coefBino{6}{2} = 15$. Vous répondrez aux questions suivantes sans utiliser la calculatrice.
\begin{parts}
\part Détailler le calcul de $\coefBino{6}{4}$ en rappelant la formule utilisée.
\begin{solution}
On utilise la formule: $\coefBino{n}{k} = \coefBino{n}{n-k}$. Donc
\begin{eqnarray*}
\coefBino{6}{4} & = & \coefBino{6}{6-4} = \coefBino{6}{2} = 15
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\part
\begin{subparts}
\subpart Combien vaut $\coefBino{6}{1}$.
\begin{solution}
D'après le cours
\begin{eqnarray*}
\coefBino{6}{1} & = & 6
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\subpart Détailler le calcul de $\coefBino{7}{2}$ en rappelant la formule utilisée.t
\begin{solution}
On utilise la formule de Pascale: $\coefBino{n+1}{k+1} = \coefBino{n}{k} + \coefBino{n}{k+1}$.
Donc en remplaçant $n$ par 6 et $k$ par 1 on obtient
\begin{eqnarray*}
\coefBino{7}{2} & = & \coefBino{6}{1} + \coefBino{6}{2} = 6 + 15 = 21
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\end{subparts}
\end{parts}
\end{questions}
\end{document}
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%%% TeX-master: "master"
%%% End: