<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\titre{DS 4}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{15 décembre 2014}
\duree{1 heure}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DS}

\printanswers

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{questions}
    


    \question[5]

        \includegraphics[scale=0.35]{./fig/dessin}

        $ABCD$ est un carré de centre $O$. Les points $E$, $F$, $G$ et $H$ sont les milieux respectifs des cotés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$.
    \begin{parts}
        \part Citer deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$.
        \begin{solution}
            Deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$: $\vec{HF}$ et $\vec{DC}$.
        \end{solution}
        \part Donner un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ mais qui ne lui soit pas égal.
        \begin{solution}
            $\vec{BD}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ car il a la même direction mais pas la même norme.
        \end{solution}
        \part En laissant les traits de construction, placer le point $M$ tel que $\vec{AM} = \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$.
        \part On suppose que l'origine du repère est $O$ et que $D$ a pour coordonnées $(1;1)$.
        \begin{subparts}
            \subpart Calculer les coordonnées de $\vec{ED}$
            \begin{solution}
                Coordonnée de $\vec{ED}$:
                \begin{eqnarray*}
                    \vec{ED} &amp; = &amp; \vectCoord{x_D - x_E}{y_D - y_E} \\
                    &amp;=&amp; \vectCoord{1 - (-1)}{1 - 0}\\
                    &amp;=&amp; \vectCoord{2}{1}
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}
            \subpart Calculer les coordonnées de $M$.
        \begin{solution}
            \begin{eqnarray*}
                \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC} &amp; = &amp; \vectCoord{2}{1} - \vectCoord{1}{1} + 3\vectCoord{0}{-1} \\
                &amp;=&amp; \vectCoord{2 - 1 + 3\times 0}{1 - 1 + 3 \times (-1)} \\
                &amp;=&amp; \vectCoord{1}{-3}
            \end{eqnarray*}
            Donc quand on fait subir la transformation $\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$ au point $A$, on obtient les coordonnées sur points $M$:
            \begin{eqnarray*}
                x_M &amp; = &amp; x_A + 1 = -1 + 1 = 0\\
                y_M &amp; = &amp; y_A - 3 = 1 - 3= -2\\
            \end{eqnarray*}
            Les coordonnées de $M$ sont alors $(0;-2)$.
        \end{solution}
        \end{subparts}
    \end{parts}

    \question[4]
    Soit $f$ la fonction $f:x\mapsto - 4x^2 + 5x - 12$
    \begin{parts}
        \part En passant par la dérivée, tracer le tableau de variation de $f$.
        \begin{solution}
            Calcul de la dérivé de $f$
            \begin{eqnarray*}
                f'(x) &amp; = &amp; -4 \times 2\times x + 5 + 0 = -8x + 5
            \end{eqnarray*}
            On cherche les valeurs de $x$ tels que $f'$ soit positive
            \begin{eqnarray*}
                f'(x) &gt; 0 &amp; \equiv &amp; -8x + 5 &gt; 0 \\
                &amp;\equiv&amp; -8x &gt; -5 \\
                &amp;\equiv&amp; x &gt; \frac{5}{8}
            \end{eqnarray*}
            Car $-8$ est négatif donc on a changé le sens de l'inégalité.

            Ici $a$ est négatif donc les branches sont orientées vers le bas.
            \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $\frac{5}{8}$, $+\infty$}
                \tkzTabLine{, + , z, -,}
                \tkzTabVar{-/{}, +/{$\frac{-167}{16}$}, -/{} }
            \end{tikzpicture}
            \end{center}

            \begin{eqnarray*}
                f(\frac{5}{8}) &amp; = &amp; -4\times\left( \frac{5}{8} \right)^2 + 5\times \frac{5}{8} - 12 \\
                &amp;=&amp; \frac{-668}{64} = \frac{-167}{16}
            \end{eqnarray*}
            
            
            
        \end{solution}
        \part Combien de solution l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle?
        \begin{solution}
            D'après le tableau de variations de la question précédente, on remarque que la maximum de $f$ est un nombre négatif. Donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solutions.
        \end{solution}
    \end{parts}

    \question[8]
    Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3km de son domicile à une vitesse constante de 15km/h. Sur son parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est de $\dfrac{2}{3}$ et celle qu'il soit à l'orange ou au rouge est de $\dfrac{1}{3}$. Un feu rouge ou orange lui font perdre une minute et demi.

    On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours.

    On appelle $T$ la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l'élève pour se rendre au lycée.

    \begin{parts}
        \part
        \begin{subparts}
            \subpart Déterminer la loi de probabilité de $X$. Justifier.
            \begin{solution}
                $X$ suit une loi binomiale de paramètre 6 et $\frac{2}{3}$. En effet, chaque feu correspond  à un épreuve de Bernouilli avec comme succès que le feu soit vert avec probabilité $\frac{2}{3}$. Chacune de ces expériences sont indépendantes (les feux ne sont pas synchronisés). Et on la répète 6 fois.
            \end{solution}
            \subpart Est-ce que $T$ suit une loi binomiale? Justifier.
            \begin{solution}
                $T$ ne suit pas une loi binomiale car elle mesure un temps et ne compte pas le nombre de succès ou d'échecs.
            \end{solution}
        \end{subparts}
        \part 
        \begin{subparts}
            \subpart Calculer la probabilité qu'il rencontre exactement 4 feux verts.
            \begin{solution}
                Probabilité d'avoir exactement 4 feux verts:
                \begin{eqnarray*}
                    P(X = 4) &amp; = &amp; \coefBino{6}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
                    &amp;\approx&amp; 0.33
                \end{eqnarray*}
                La probabilité qu'il ai exactement 4 feux vert est de 0,33.

                
            \end{solution}
            \subpart Combien de temps mettra-t-il alors pour aller au lycée?
            \begin{solution}
                15km/h correspond à $15:60 = 0,25km/min$.

                Si le parcourt se fait sans rencontrer de feu rouge (temps minimal de trajet pour parcourir les 3km)
                \begin{eqnarray*}
                    \frac{3}{0,25} &amp; = &amp; 12 min
                \end{eqnarray*}

                Donc s'il rencontre 4 feux vert soit 2 feux rouges ou oranges
                \begin{eqnarray*}
                    12 + 2\times1,5 &amp; = &amp; 15min 
                \end{eqnarray*}

                Il mettra 15 minutes s'il rencontre 2 feux rouges ou oranges.
            \end{solution}
        \end{subparts}
        \part 
        \begin{subparts}
            \subpart Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
            \begin{solution}
                Espérance de $X$: Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres 6 et $\frac{2}{3}$, on a 
                \begin{eqnarray*}
                    E[X] &amp; = &amp; 6\times \frac{2}{3} = 4
                \end{eqnarray*}
                En moyenne, il rencontrera 4 feux verts.
            \end{solution}
            \subpart Exprimer $T$ en fonction de $X$.
            \begin{solution}
                D'après la question 2.b, s'il ne rencontre pas de feux rouges ou orange il met 12 minutes. Chaque feu rouge rencontré lui fait perdre 1,5minutes de plus. Donc
                \begin{eqnarray*}
                    T &amp; = &amp; 12 + (6-X)\times1,5\\
                    T &amp;=&amp; 12 + 9 - 1,5X \\
                    T &amp;=&amp; 21 - 1,5X
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}
            \subpart Calculer l'espérance de $T$. Interpréter le résultat.
            \begin{solution}
                Espérance de $T$:
                \begin{eqnarray*}
                    E[T] &amp; = &amp; 21 - 1,5\times E[X]\\
                    E[T] &amp; = &amp; 21 - 1,5\times 4\\
                    E[T] &amp;=&amp;  21 - 6 = 15
                \end{eqnarray*}
                Il mettra en moyenne 15 minutes pour aller au lycée.
            \end{solution}
        \end{subparts}
        \part L'élève part 17 minutes avant le début des cours. Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure?
        \begin{solution}
            S'il y a que 2 feux verts, son parcours durera 18 minutes. S'il en a 3, son parcours durera 16,5min. Donc il sera en retard, dès que $X \leq 2$.
            \begin{eqnarray*}
                P(X\leq 2) &amp; = &amp; P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \\
                &amp;=&amp; 0,1
            \end{eqnarray*}
            Il a environ une chance sur 10 d'arriver en retard.
        \end{solution}
    \end{parts}

    \question[3]
    On suppose que $\coefBino{6}{2} = 15$. Vous répondrez aux questions suivantes sans utiliser la calculatrice.
    \begin{parts}
        \part Détailler le calcul de $\coefBino{6}{4}$ en rappelant la formule utilisée.
        \begin{solution}
            On utilise la formule: $\coefBino{n}{k} = \coefBino{n}{n-k}$. Donc
            \begin{eqnarray*}
                \coefBino{6}{4} &amp; = &amp; \coefBino{6}{6-4} = \coefBino{6}{2} = 15
            \end{eqnarray*}
        \end{solution}
        \part 
        \begin{subparts}
            \subpart Combien vaut $\coefBino{6}{1}$. 
            \begin{solution}
                D'après le cours
                \begin{eqnarray*}
                    \coefBino{6}{1} &amp; = &amp; 6
                \end{eqnarray*}
                
            \end{solution}
            
            \subpart Détailler le calcul de $\coefBino{7}{2}$ en rappelant la formule utilisée.t
            \begin{solution}
                On utilise la formule de Pascale: $\coefBino{n+1}{k+1} = \coefBino{n}{k} + \coefBino{n}{k+1}$.
                
                Donc en remplaçant $n$ par 6 et $k$ par 1 on obtient
                \begin{eqnarray*}
                    \coefBino{7}{2} &amp; = &amp; \coefBino{6}{1} + \coefBino{6}{2} = 6 + 15 = 21
                \end{eqnarray*}
                
            \end{solution}
        \end{subparts}
        
    \end{parts}
\end{questions}

\end{document}

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