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% Title Page
\titre{Conditionnement}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\TSTMG}
\date{Mars 2015}

\begin{document}
\maketitle

\section{Probabilité et évènement}

\begin{Def}
    Soit $A$ un évènement (une partie) de l'univers $\Omega$.

    La probabilité de $A$ noté $P(A)$ se calcule grâce à 
    \begin{eqnarray*}
        P(A) & = & \frac{\mbox{ Nbr elem dans } A}{\mbox{Nbr élém dans }\Omega}
    \end{eqnarray*}
\end{Def}

\begin{Rmq}
    Quelque soit $A$, $P(A)$ est toujours compris entre 0 et 1.
\end{Rmq}

\begin{Def}
       \textbf{Contraire}: les éléments de $\bar{A}$ sont tous les éléments qui ne sont pas dans $A$.
       \begin{eqnarray*}
           P(\bar{A}) & = & 1 - P(A)
       \end{eqnarray*}
\end{Def}

\begin{Def}
    Soient $A$ et $B$ deux ensembles
    \begin{itemize}
        \item \textbf{Union}: Les éléments de $A\cup B$ sont les éléments qui sont soit dans $A$ soit dans $B$ soit dans les deux.
        \item \textbf{Intersection}: Les éléments de $A\cap B$ sont les éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$.
    \end{itemize}
    Pour calculer ces probabilités on peut utiliser la formule suivante
    \begin{eqnarray*}
        P(A \cap B) & = & P(A) + P(B) - P(A \cup B)\\
        P(A \cup B) & = & P(A) + P(B) - P(A \cap B)
    \end{eqnarray*}
    
\end{Def}

\section{Probabilité conditionnelle}

\begin{Def}
    Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $A$ non impossible ($P(A) \neq 0$). La \textbf{probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$} est notée $P_A(B)$ et se calcule par
    \begin{eqnarray*}
        P_A(B) & = & \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{\mbox{ Nbr élém dans }A\cap B}{\mbox{Nbr élém dans } A}
    \end{eqnarray*}
\end{Def}

\section{Arbres pondérés}

On peut représenter les situations mettant en jeu des probabilités conditionnelles avec un arbre.

Soit $A$ et $B$ deu évènements. On représente a situation de la façon suivante. \textit{On y mettra les inforations $P(A)$, $P_A(A)$...}

Cet arbre est soumis à quelques règles:
\begin{itemize}
    \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
    \item La probablité d'un chemin est égal au produit des probablités des branches parcouruts.
    \item La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet évènement.
\end{itemize}

\paragraph{Illustration:}

On met sous forme d'arbre une situation et on répond aux questions 'types' suivantes
\begin{itemize}
    \item Connaître la probabilité d'un branche connaissant la proba des autres
    \item Calculer la probabilité d'une intersection.
    \item Calculer une probabilité d'un évènement "feuille".
\end{itemize}

\begin{Prop}
    Soit $A$ et $B$ deux évènements, alors
    \begin{eqnarray*}
        P(A\cap B) & = & P(A) \times P_A(B)
    \end{eqnarray*}
\end{Prop}

\begin{Prop}
    Formule des probabilités totale

    \textit{ Je ne suis pas convaincu de son utilité quand on a déjà l'arbre.}
\end{Prop}




\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: