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% Title Page
\titre{Opération sur les fonctions}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{Mai 2015}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
    \Ovalbox{Dériver puis étudier les variations de $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1}$}
\end{center}

\begin{itemize}
    \item \textbf{Domaine de définition de $h$.}

        On constate que $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1} = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec
        \begin{eqnarray*}
            u(x) = 3x^2 - x - 1 &\hspace{1cm}  & v(x) = 4x - 1
        \end{eqnarray*}
        Ces deux fonctions sont des polynômes donc sont définis sur $\R$. Les valeurs interdites arrivent quand $u(x) = 0$. On résout cette équation
        \begin{eqnarray*}
            u(x) = 0 & \equiv & 4x - 1 = 0 \\
            & \equiv & 4x = 1 \\
            & \equiv & x = \frac{1}{4}
        \end{eqnarray*}
        Donc le domaine de définition de $h$ est $D_h = \R \backslash \left\{ \dfrac{1}{4} \right\}$.

    \item \textbf{Dérivation}
        
        Comme nous l'avons vu plus haut, $h$ est de la forme $h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ nous allons donc utiliser la dernière formule du tableau pour dériver. Pour cela nous avons besoin de dériver $u$ et $v$
        \begin{eqnarray*}
            u(x) = 3x^2 - x - 1 & \mbox{ donc }  &  u'(x) = 6x - 1 \\
            v(x) = 4x - 1 & \mbox{ donc }  &  v'(x) = 4
        \end{eqnarray*}
        On applique la formule
        \begin{eqnarray*}
            h'(x) &=& \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} \\
            &=& \frac{(6x - 1)(4x - 1) - (3x^2 - x - 1)\times 4}{(4x-1)^2} \\
            &=& \frac{24 x^{  2 } - 6 x - 4x + 1 - ( 12 x^{  2 } - 4 x - 4 )}{(4x-1)^2} \\ 
            &=& \frac{24 x^{  2 } - 10 x + 1 -  12 x^{  2 } + 4 x + 4}{(4x-1)^2} \\
            &=& \frac{( 24 - 12 ) x^{  2 } + ( -10 + 4 ) x + 1 + 4}{(4x-1)^2} \\
            h'(x) &=& \frac{12 x^{  2 } - 6 x + 5}{(4x-1)^2} 
        \end{eqnarray*}

    \item \textbf{Étude des variations de $h$}
       
        Comme le dénominateur de $h'$ est un carré (toujours positif), $h'$ a le même signe que le numérateur $12x^2 - 6x + 5$. Pour déterminer le signe de ce polynôme, on utilise la méthode du discriminant
        \begin{eqnarray*}
            \Delta = b^2 - 4ac &=& (-6)^2 - 4\times 12 \times 5 \\
                &=& 36 - 240 \\
                &=& -204
        \end{eqnarray*}
        $\Delta < 0$, il n'y donc pas de racine et le polynôme est du signe de $a = 12 > 0$. Donc $12x^2 - 6x + 5$ est toujours positif donc $h'(x)$ est toujours positif. On en déduit le tableau de variation suivant
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \tkzTabInit{$x$/1, Signe de $h'$ / 2, Variations de $h$ / 2}{$-\infty$, $\frac{1}{4}$, $+\infty$}
                \tkzTabLine{, +, d, +, }
                \tkzTabVar{-/{}, +D-/{}/{}, +/{}}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}

        
        
        


\end{itemize}



\end{document}

%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: "master"
%%% End: