\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
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\usepackage{tikz}

% Title Page
\titre{Tracer le graphique d'une fonction}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{septembre 2014}

%\fancyhead[L]{<++classes++> : \Thetitle}

\begin{document}
\maketitle

\paragraph{Objectif:} Tracer le graphique de la fonction $f:x \mapsto x^2 - x - 3$, en utilisant quelques de ses tangentes.

\paragraph{Tableau de valeurs:} On complete le tableau suivant

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
        \hline
        $x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
        \hline
        $f(x)$ & 3 & -1 & -3 & -3 & -1 \\ 
        \hline
        Nombre dérvé & &&&& \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
    \item Calcul du nombre dérivé en -2:
        On commence par la simplification de $\dfrac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}$
        \begin{eqnarray*}
            f(-2 + h) & = & (-2 + h)^2 - (-2 + h) - 3 \\
            & = & (-2)^2 + 2\times (-2)\times h + h^2 + 2 - h - 3 \\
            & = & 4 -4h + h^2 - 1 - h \\
            & = & h^2 - 5h + 3
        \end{eqnarray*}
        Donc
        \begin{eqnarray*}
            \frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} & = & \frac{ h^2 - 5h + 3 - 3}{h} \\
            & = & \frac{h^2 - 5h}{h} \\
            & = & \frac{h(h-5)}{h} \\
            & = & h - 5
        \end{eqnarray*}

        Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}$ s'approche de $-5$. On en déduit que 
        \begin{eqnarray*}
            \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} &  =  & -5
        \end{eqnarray*}

    \item Calcul du nombre dérivé en -1:
        On commence par la simplification de $\dfrac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}$
        \begin{eqnarray*}
            f(-1 + h) & = & (-1 + h)^2 - (-1 + h) - 3 \\
            & = & (-1)^2 + 2\times (-1)\times h + h^2 + 1 - h - 3 \\
            & = & 1 -2h + h^2 - 2 - h \\
            & = & h^2 - 3h - 1
        \end{eqnarray*}
        Donc
        \begin{eqnarray*}
            \frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h} & = & \frac{ h^2 - 3h - 1 - (-1)}{h} \\
            & = & \frac{h^2 - 3h}{h} \\
            & = & \frac{h(h-3)}{h} \\
            & = & h - 3
        \end{eqnarray*}

        Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}$ s'approche de $-3$. On en déduit que 
        \begin{eqnarray*}
            \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h} &  =  & -3
        \end{eqnarray*}

    \item Calcul du nombre dérivé en 0:
        On commence par la simplification de $\dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h}$
        \begin{eqnarray*}
            f(0 + h) & = & (0 + h)^2 - (0 + h) - 3 \\
            & = & h^2 - h - 3 \\
        \end{eqnarray*}
        Donc
        \begin{eqnarray*}
            \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} & = & \frac{ h^2 - h - 3 - (-3)}{h} \\
            & = & \frac{h^2 - h}{h} \\
            & = & \frac{h(h-1)}{h} \\
            & = & h - 3
        \end{eqnarray*}

        Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h}$ s'approche de $-1$. On en déduit que 
        \begin{eqnarray*}
            \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} &  =  & -1
        \end{eqnarray*}

    \item Calcul du nombre dérivé en 1:
        On commence par la simplification de $\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}$
        \begin{eqnarray*}
            f(1 + h) & = & (1 + h)^2 - (1 + h) - 3 \\
            & = & 1^2 + 2\times 1\times h + h^2 - 1 - h - 3 \\
            & = & 1 + 2h + h^2 - 4 - h \\
            & = & h^2 + h - 3
        \end{eqnarray*}
        Donc
        \begin{eqnarray*}
            \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} & = & \frac{ h^2 + h - 3 - (-3)}{h} \\
            & = & \frac{h^2 + h}{h} \\
            & = & \frac{h(h+1)}{h} \\
            & = & h + 1
        \end{eqnarray*}

        Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ s'approche de $1$. On en déduit que 
        \begin{eqnarray*}
            \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} &  =  & 1
        \end{eqnarray*}
 
    \item Calcul du nombre dérivé en 2:
        On commence par la simplification de $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$
        \begin{eqnarray*}
            f(2 + h) & = & (2 + h)^2 - (2 + h) - 3 \\
            & = & 2^2 + 2\times 2\times h + h^2 - 2 - h - 3 \\
            & = & 4 + 4h + h^2 - 5 - h \\
            & = & h^2 + 3h - 1
        \end{eqnarray*}
        Donc
        \begin{eqnarray*}
            \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} & = & \frac{ h^2 + 3h - 1 - (-1)}{h} \\
            & = & \frac{h^2 + 3h}{h} \\
            & = & \frac{h(h+3)}{h} \\
            & = & h + 3
        \end{eqnarray*}

        Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ s'approche de $3$. On en déduit que 
        \begin{eqnarray*}
            \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} &  =  & 3
        \end{eqnarray*}       
\end{itemize}

Le tableau devient donc

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
        \hline
        $x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
        \hline
        $f(x)$ & 3 & -1 & -3 & -3 & -1 \\ 
        \hline
        Nombre dérvé & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\paragraph{Graphique de la fonction $f$}
~\\
Cette partie a été traitée en cours.

%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[scale=2]
%    \draw [color = red, domain=0:2.5] plot (\x, {- \x - 3 + \x^2});
%    \draw [color = red, domain=-2.5:0] plot (\x, {- \x - 3 + \x^2});
%    \draw[->] (-3,0) -- (3.5,0);
%    \draw[->] (0,-4) -- (0,4.5);
%    \draw[dotted] (-3,-4) grid (3,4); 
%\end{tikzpicture}
%\end{center}








\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: