\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
\titre{DM7}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{28 mai 2015}
%\duree{1 heure}
\sujet{\Var{infos.num}}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DM}

%\printanswers

\begin{document}

\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.

\begin{questions}
    \question 
    \begin{parts}
        \part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
        \begin{multicols}{2}
            \begin{parts}
                \Block{set denom1 = choice([2, 3, 4, 6])}
                \Block{set num1 = randint(-50, 50)}
                \part $\alpha = \frac{\Var{num1}\pi}{\Var{denom1}}$
                \Block{set denom2 = choice([3, 4, 6])}
                \Block{set num2 = randint(-50, 50)}
                \part $\beta= \frac{\Var{num2}\pi}{\Var{denom2}}$
                \Block{set denom3 = choice([3, 4, 6])}
                \Block{set num3 = randint(-50, 50)}
                \part $\delta = \frac{\Var{num3}\pi}{\Var{denom3}}$
                \Block{set denom4 = choice([3, 6])}
                \Block{set num4 = randint(-50, 50)}
                \part $\sigma = \frac{\Var{num4}\pi}{\Var{denom4}}$
            \end{parts}
        \end{multicols}
        \begin{solution}
            \begin{tikzpicture}
                \cercleTrigo
                \draw (\Var{num1*180/denom1}:1) node[rotate = \Var{num1*180/denom1}] {-} node[above] {$\alpha$};
                \draw (\Var{num2*180/denom2}:1) node[rotate = \Var{num2*180/denom2}] {-} node[below] {$\beta$};
                \draw (\Var{num3*180/denom3}:1) node[rotate = \Var{num3*180/denom3}] {-} node[right] {$\delta$};
                \draw (\Var{num4*180/denom4}:1) node[rotate = \Var{num4*180/denom4}] {-} node[left] {$\sigma$};

                
            \end{tikzpicture}
            
        \end{solution}

        \Block{set u, v = random_str("{u},{v}",conditions = ["{u} > 0", "{v} > 0"]).split(',')}
        \Block{set c = round(2*random()-1,1)}
        \part On pose $||\vec{u}|| = \Var{u} $, $||\vec{v}|| = \Var{v} $ et $\vec{u}.\vec{v} = \Var{round(int(u)*int(v)*c, 1)}$ calculer les quantités suivantes
        \Block{set a, b = random_str("{a},{b}",conditions = ["{a} > 1", "{b} > 0"]).split(',')}
        \begin{multicols}{2}
        \begin{subparts}
            \subpart $(\vec{u} - \Var{b} \vec{v})(\vec{v} + \Var{a} \vec{u})$
            \subpart $||\Var{a}\vec{u} - \Var{b} \vec{v}||$
        \end{subparts}
            
        \end{multicols}
        
    \end{parts}

    \question

    \Block{from "poly2Deg.tex" import solveEquation}

    \begin{parts}
         \part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
         % Il y aura toujours 2 racines
         \Block{set P = Polynom.random(degree = 2, conditions = ["{b**2-4*a*b} > 0"])}
         % Il y aura toujours 2 racines
         \Block{set Q = Polynom.random(degree = 2, conditions = ["{b**2-4*a*b} > 0"])}
         % Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
         \Block{set R = Polynom.random(degree = 1, letter = "\\sqrt{x}", conditions = ["{a*b}<0"])}
         \begin{multicols}{3}
             \begin{subparts}
                 \subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{\Var{P}}$
                 \subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{\Var{R}}$
                 \subpart $h:x \mapsto \sqrt{\Var{Q}}$
             \end{subparts}
         \end{multicols}
         \begin{solution}
             \begin{enumerate}
                 \item 
                 On constate que $f$ est une fonction de la forme
                 \begin{eqnarray*}
                     f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = \Var{P}
                 \end{eqnarray*}
                 Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.

                 On résout l'équation $\Var{P} = 0$:
                  \Var{solveEquation(P)}

                  Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \Var{P.roots()[0]}, \Var{P.roots()[1]} \right\}$.

             \end{enumerate}
         \end{solution}
         \part Soit $f$ un fonction définie par
         \Block{set P = Polynom.random(degree = 2 )}
         \Block{set Q = Polynom.random(degree = 1 , conditions = ["{a+b} != 0"])}

         \begin{eqnarray*}
             f:x\mapsto  \frac{\Var{P}}{\Var{Q}}
         \end{eqnarray*}
         \begin{subparts}
             \subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
             \Block{set N = (P.derivate() * Q - P * Q.derivate()).simplify()}
             \subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{\Var{N}}{(\Var{Q})^2}$
             \subpart Étudier le signe de $f$.
             \subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
         \end{subparts}
         
    \end{parts}


    \question
    \Block{set u0 = random_str("{u}")}
    \Block{set u = Polynom.random(degree = 1, conditions=["{a} != 1"], letter = "u_n")}
    \Block{set a,b = u._coef[1], u._coef[0]}
    Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par 
    \begin{eqnarray*}
        u_0 = \Var{u0} \hspace{2cm} u_{n+1} = \Var{u}
    \end{eqnarray*}
    \begin{parts}
        \part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
        \Block{set pt_fixe = Fraction(b, (1-a)).simplify()}
        \Block{set v = Polynom([-pt_fixe, 1], letter = "u_n")}
        \part On pose $v_n = \Var{v}$.
        \begin{subparts}
            \subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
            \subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \Var{a}$.
            \subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
            \Block{set explicite = Expression([int(u0) - pt_fixe, a, "n", "^", "*",  pt_fixe, "+"])}
            \subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \Var{explicite}$
        \end{subparts}
        \part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
        \part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
    \end{parts}

\end{questions}
    
\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: