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\titre{DS 3}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{23 novembre 2014}
\duree{1 heure}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DS}

\renewcommand\choicelabel{\ovalbox{\thechoice}}

\printanswers

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{questions}
        \vfill
    \question[4]
    Soit $f:x\mapsto -4x^2 + x - 3$ une fonction polynôme du second degré.
    \begin{parts}
        \part Mettre $f$ sous la forme canonique.
        \begin{solution}
            On reconnait les coéfficients de $f$: $a = -4$, $b = 1$ et $c= -3$
            Donc 
            \begin{eqnarray*}
                \alpha & = & \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}\\
                \beta &=& - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = - \frac{1^2 - 4\times (-4) \times (-3)}{4\times (-4)} \\
                &=& -\frac{1 - 48}{-16} = \frac{-47}{16}
            \end{eqnarray*}
            Donc la forme canonique de $f$ est
            \begin{eqnarray*}
                f(x) & = & a(x-\alpha)^2 + \beta \\
                f(x) & = & -3(x-\frac{1}{8})^2 + \frac{-47}{16}
            \end{eqnarray*}
        \end{solution}
        \part Quel est le nom de la courbe représentative de $f$? Quels sont les coordonnées de son sommet?
        \begin{solution}
            Comme $f$ est un polynôme du 2nd degré, sa courbe représentative est une \textbf{parabole}. Les coordonnées de son sommet sont $(\alpha;\beta) = (\frac{1}{8};\frac{-47}{16})$.
        \end{solution}
        \part Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
        \begin{solution}
            ...
        \end{solution}
        \part Donner le tableau de variation de $f$.
        \begin{solution}
            ...
        \end{solution}
    \end{parts}

        \vfill
    \question[4]
    Voici 3 fonctions polynôme du second degré.
    \begin{eqnarray*}
        f(x) &=& x^2 - 4x + 5\\
        g(x) &=& -2x^2 + 8x - 7 \\
        h(x) &=& 2x^2 + 8x + 6 
    \end{eqnarray*}
    Voici 3 courbes $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$.

    \hspace{-1cm}
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
            \repere{-4}{4}{-4}{4}
            \draw[very thick, domain=-3.7:-0.3, color=red] plot (\x, {2*\x*\x + 8*\x + 6});
            \draw (-3,3) node [above right] {$\mathcal{P}_1$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \hspace{0.5cm}
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
            \repere{-4}{4}{-4}{4}
            \draw[very thick, domain=0.3:3.7, color=red] plot  (\x, {\x*\x - 4*\x + 5});
            \draw (1,3) node [above right]{$\mathcal{P}_2$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \hspace{0.5cm}
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
            \repere{-4}{4}{-4}{4}
            \draw[very thick, domain=0.5:3.5, color=red] plot  (\x, {-2*\x*\x + 8*\x - 7});
            \draw (1,-3) node [above right]{$\mathcal{P}_3$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}


    Retrouver à quelle fonction correspond chaque courbe, en justifiant.
    
    \begin{solution}
        La courbe $\mathcal{P}_3$ ne peut être que la courbe représentatve de $g$ car elle a ses branches vers le bas et c'est la seule fonction qui a pour premier coéfficient ($a)$ un nombre négatif.

        Pour distinguer les deux autres, on peut calculer les coordonnées du sommet de la courbe représentative de $f$.
        \begin{eqnarray*}
            \alpha & = & \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2\\
            \beta & = & -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{(-4)^2 - 4\times 1\times 5}{4\times 1}\\
            \beta & = & -\frac{16 - 20}{4} = 1
        \end{eqnarray*}
        Donc le sommet de la courbe représentative de $f$ a pour coordonnées $(2;1)$ c'est donc la courbe $\mathcal{P}_2$.

        Par élimination, la courbe représentative de $h$ est $\mathcal{P}_1$.
        
    \end{solution}

        \vfill
    \question[6]
    Deux vaches sont confortablement installées dans un champ au bord d'une route peu fréquentée. Aujourd'hui, elles ont décidé de compter les voitures rouges qui passent devant elles. Leurs longues ruminations des mois précédents leur ont appris que la couleur d'une voiture était indépendante de la couleur de la voiture précédente et qu'il y avait environ 30\% de voitures rouges. Elles ont vu 3 voitures.

    On nomme $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures rouges qui passent devant les deux vaches.

    \begin{parts}
        \part Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
        \begin{solution}
            $X$ suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,3. En effet, on répète 3 fois une expérience de Bernoulli (passage d'une voiture) de façon indépendante. Dans chacune de ces expériences, un succès est le passage d'une voiture rouge (avec probabilité 30\% = 0,3) et un échec est le passage d'une voiture d'une autre couleur.
        \end{solution}
        \part Calculer $P(X = 0)$, $P(X = 1)$.
        \begin{solution}
            faire le graphique
            \begin{eqnarray*}
                P(X=0) & = & 0.7 \times 0.7 \times 0.7 = 0.343 \\
                P(X = 1) & = & 3 \times 0.3 \times 0.7 \times 0.7 = 0.441
            \end{eqnarray*}
        \end{solution}
        \part Quelle est la probabilité pour que les deux vaches aient vu au moins deux voitures rouges?
        \begin{solution}
            Calcul de la probabilité que les vaches voient au moins 2 voitures rouges:
            \begin{eqnarray*}
                P(\{\mbox{Au moins deux voitures rouges}\}) & = & P(X \geq 2) \\
                & = & P(X = 2) + P(X = 3) \\
                & = & 3 \times 0.7 \times 0.3 \times 0.3 + 0.3 \times 0.3 \times 0.3 \\
                & = & 0.216
            \end{eqnarray*}
        \end{solution}
    \end{parts}

        \vfill
    \clearpage

    \question[6]
        \begin{itshape}
            Cet exercice est une questionnaire à choix multiples (QCM). 
            
            Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte.
            
            Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

            Une réponse juste apporte 1,5point, une réponse fausse enlève 0,5 point et l'absence de réponse ne rapport ni n'enlève de points. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.
            
        \end{itshape}
        \vfill
        \begin{parts}
            \part Un panier contient 20 fraises et 30 framboises. On prend simultanément 5 fruits. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de fraises. X suit alors une loi binomiale de paramètres $5$ et $\frac{20}{50}$.

        \vfill
            \begin{oneparchoices}
                \choice Vrai
                \CorrectChoice Faux
            \end{oneparchoices}
            \begin{solution}
                C'est faux, car il les tirages sont sans remises donc ils ne sont pas indépendants.
            \end{solution}
        \vfill

            \part Le coefficient binomial $\coefBino{9}{8}$ est égal à 

        \vfill
            \begin{oneparchoices}
                \choice $\coefBino{8}{7}$
                \CorrectChoice $9$
                \choice $\coefBino{9}{0}$
            \end{oneparchoices}

            \begin{solution}
                On sait que $\coefBino{n}{n-1}=n$ donc $\coefBino{9}{8} = 9$.
            \end{solution}

        \vfill
            \part Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et 0.7, $\coefBino{n}{k}$ est le nombre de chemins avec $k$ succès.

        \vfill
            \begin{oneparchoices}
                \CorrectChoice Vrai
                \choice Faux
            \end{oneparchoices}
            \begin{solution}
                C'est la définition de $\coefBino{n}{k}$.
            \end{solution}

        \vfill
            \part On considère $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 5 et $\frac{3}{11}$ . $X$ peut alors prendre les valeurs entières comprises entre 1 et 5.

        \vfill
            \begin{oneparchoices}
                \choice Vrai
                \CorrectChoice Faux
            \end{oneparchoices}
        \vfill
        \begin{solution}
            C'est faux car $X$ peut aussi valoir 0.
        \end{solution}
        \end{parts}
            
\end{questions}

\end{document}

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%%% End:

