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% Title Page
\titre{Colinéarité et équation de droite}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{Décembre 2014}

\begin{document}
\maketitle

\section{Les vecteurs}
\TODO{Toutes les propriétés sont illustrées par des dessins}

\begin{Prop}
    Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B:y_B)$ deux points du plan.

    Le vecteur $\vec{AB}$ correspond à la translation qui amène $A$ sur $B$.

    Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont alors $\vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.
\end{Prop}

\begin{Prop}
    $A$, $B$, $C$ et $D$ 4 points du plan.

    \begin{eqnarray*}
        \vec{AB} = \vec{CD} & \equiv & \mbox{ Amener $A$ sur $B$ est la même translation que amener $C$ sur $D$} \\
        & \equiv & \mbox{ Les coordonnées de $\vec{AB}$ sont égales aux coordonnées de $\vec{CD}$ } \\
        & \equiv & ABDC \mbox{ est un parallélogramme }
    \end{eqnarray*}
\end{Prop}

\begin{Prop}
    Relation de Chasles
    \begin{eqnarray*}
        \vec{AC} & = & \vec{AB} + \vec{BC}
    \end{eqnarray*}
\end{Prop}

\begin{Prop}
    Soit $\vec{u} = \vectCoord{x}{y}$ et $k \in \R$ alors

    $k\vec{u}$ représente $k$ fois la translation $\vec{u}$. On a alors $k\vec{u} = \vectCoord{kx}{ky}$.
\end{Prop}

\section{Colinéarité}

\begin{Def}
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont \textbf{colinéaires} si et seulement si il existe $k \neq 0$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$.
\end{Def}

\begin{Rmq}
    Deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction mais pas forcement la même norme ou la même directions
\end{Rmq}

\begin{Prop}
    Deux vecteurs $\vec{u} (x;y)$ et $\vec{v} (x':y')$ sont colinéaires ssi xy' - yx' = 0
\end{Prop}

\begin{Demo}

    \begin{tabular}{ccc}
    $\vec{u} (x;y)$ et $\vec{v} (x':y')$ sont colinéaires &ssi& il existe $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ \\
    & ssi & il existe $k$ tel que $x = kx'$ et $y=ky'$ \\
    & ssi & le tableau 
            \begin{tabular}{|c|c|}
                \hline
            x & y \\
                \hline
            x' & y' \\
                \hline
            \end{tabular}
    est un tableau de proportionnalité \\
    & ssi & xy' - yx' = 0
    \end{tabular}
\end{Demo}

\begin{Prop}
    $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires ssi $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
\end{Prop}

\section{Équation de droite}



\end{document}

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%%% End: