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% Title Page
\titre{Variable aléatoire}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{Septembre 2014}

\begin{document}
\maketitle

\section{Variable aléatoire}

\begin{Def}
    Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire.

    Définir une variable aléatoire $X$ sur $\Omega$, c'est associer à chacune des issues de $\Omega$ un réel.
\end{Def}

\begin{Ex}
    On tire au hasard une boule dans une urne constituée de 3 boules bleu, 5 boules verte, 9 boules jaune et 1 boule rouge.
    \begin{itemize}
        \item Une boule bleu rapporte 10
        \item Une boule verte rapporte 1
        \item Une boule jaune rapporte 1
        \item Une boule rouge rapporte -4
    \end{itemize}

    On fait le dessin

\end{Ex}

\begin{Def}
    Soit $X$ une variable aléatoire. Définir une loi de probabilité de $X$ c'est associer à chacune des valeurs prise par $X$ un nombre $P(X=x)$ compris entre 0 et 1 tel que la somme de tous ces nombres soit égale à 1.
\end{Def}

\begin{Ex}
    Loi de probabilité pour l'exemple en question.

    Représentation graphique de la loi -> diagramme bâtons
\end{Ex}

\begin{Def}
    \begin{itemize}
        \item L'évènement $\left\{ X = x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé la valeur $x$.
        \item L'évènement $\left\{ X \geq  x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé une valeur supérieur ou égale à $x$.
        \item L'évènement $\left\{ X \leq  x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé une valeur supérieur ou égale à $x$.
    \end{itemize}
\end{Def}

\begin{Ex}
    On reprend l'exemple en détaillant quelques évènements et les probabilités associées.
\end{Ex}



\section{Espérance, variance et écart-type}

\begin{Ex}
    Activité autour des barèmes d'un QCM.
\end{Ex}

\begin{Def}
    Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
            \hline
            Valeurs & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
            \hline
            Proba & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \textbf{L'espérance} de $X$ est la moyenne des gains pondérées par leur probabilité. Elle se calcule de la manière suivante
    \begin{eqnarray*}
        E[X] & = & x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
    \end{eqnarray*}
\end{Def}

\begin{Ex}
    Exemple de calcul simple
\end{Ex}

\begin{Rmq}
    Gain espérable si l'on joue de nombreuse fois.
\end{Rmq}

\begin{Def}
    Un jeu aléatoire est dit \textbf{équitable} quand son espérance est nulle.
\end{Def}

\begin{Def}
    Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
            \hline
            Valeurs & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
            \hline
            Proba & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \textbf{La variance} de $X$ est le nombre réel
    \begin{eqnarray*}
        V(X) & = & \sum_{i=1}^{n} (x_i - E[X])^2 \times p_i
    \end{eqnarray*}
    \textbf{L'écart type} de $X$ est le nombre réel
    \begin{eqnarray*}
        \sigma(X) & = & \sqrt{V(X)}
    \end{eqnarray*}
\end{Def}

\begin{Prop}
    \begin{eqnarray*}
        V(X) & = & E[(x-E[X])^2] \\
        V(X) & = & E[X^2] - E[X]^2
    \end{eqnarray*}
\end{Prop}

\begin{Demo}
    .
\end{Demo}

\begin{Prop}
    Soient $a$ et $b$ deux réels, alors
    \begin{eqnarray*}
        E[aX+b] & = & aE[X] + b \\
        V(aX) & = & a^2 V(X)
    \end{eqnarray*}
\end{Prop}

\begin{Demo}
   . 
\end{Demo}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: