\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{multicol}

% Title Page
\titre{7}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\seconde}
\date{8 avril 2015}
\duree{1 heure}
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DS}

\printanswers

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{questions}
    
    \question[8]
    \begin{parts}
        \part Développer puis réduire les expressions suivantes
        \begin{multicols}{2}
            \begin{subparts}
                \subpart $A = 4x(5x - 1)$
                \begin{solution}
                    \begin{align*}za
                        A &= 4x(5x - 1) \\
                        A &= 4x \times 5x + 4x \times (-1) \\
                        A &= 20x^2 - 4x
                    \end{align*}
                \end{solution}

                \columnbreak

                \subpart $B = 4(1+x)^2 + 2(x+1) - 1$
                \begin{solution}
                    \begin{align*}
                        B &= 4(1+x)^2 + 2(x+1) - 1 \\
                        B &= 4(1 + 2x + x^2) + 2x + 2 - 1 \\
                        B &= 4 + 4\times 2x + 4x^2 + 2x + 1 \\
                        B &= 4x^2 + 8x + 2x + 4 + 1 \\
                        B &= 4x^2 + 10x + 5
                    \end{align*}
                \end{solution}
            \end{subparts}
        \end{multicols}
        \part Factoriser l'expression suivante
                $C = 5x - 3x^2$
                \begin{solution}
                    \begin{align*}
                        C &= 5x - 3x^2 \\
                        C &= x (5 - 3x)
                    \end{align*}
                \end{solution}
                %\subpart $D = 16x^2 - 24x + 9$
                %\begin{solution}
                %    \begin{align*}
                %        B &= 16x^2 - 24x + 9 \\
                %        B &= (4x - 3)^2
                %    \end{align*}
                %\end{solution}
        \part Résoudre les équations suivantes 
        \begin{multicols}{2}
            \begin{subparts}
                \subpart $-3x + 2 = 0$
                \begin{solution}
                    \begin{align*}
                        & -3x + 2&=&0 \\
                    \equiv & -3x + 2 - 2 &=& 0 - 2 \\
                    \equiv & -3x &=& -2 \\
                    \equiv & \frac{-3x}{-3} &=& \frac{-2}{-3} \\
                    \equiv & x &=& \frac{2}{3}
                    \end{align*}
                    Donc la solution est $\mathcal{S} = \left\{ \frac{2}{3} \right\}$
                \end{solution}
                \columnbreak
                \subpart $(4x - 1)(9x + 18) = 0$
                \begin{solution}
                    On sépare l'équation en deux équations
                    \begin{align*}
                        4x - 1 = 0 & \mbox{ ou } & 9x + 18 = 0 \\
                        4x  = 1 & \mbox{ ou } & 9x  = -18 \\
                        x  = \frac{1}{4} & \mbox{ ou } & x  = \frac{-18}{9} = -2 \\
                    \end{align*}
                    Les solutions sont $\mathcal{S} = \left\{ -2 ; \frac{1}{4} \right\}$
                \end{solution}
            \end{subparts}
        \end{multicols}
        \part Tracer le tableau de signe de la fonction suivante
        \begin{eqnarray*}
                f(x) = -2x + 100 
        \end{eqnarray*}
                \begin{solution}
                    On commence par chercher les valeurs de $x$ telles que $f(x)$ est positif
                    \textit{(On a divisé par -2, on a changé le sens de l'inégalité)} \\
                    Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à 50
                    On en déduit le tableau de signe de $f$                    
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[espcl=2]%
                            {$x$/1, Signe de $f$/2}%
                            {$-\infty$, $50$ , $+\infty$}
                            \tkzTabLine{, +, z , -,}
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
                \end{solution}
                %\subpart $g(x) = 100 x + 50$
                %\begin{solution}
                %    On commence par chercher les valeurs de $x$ telles que $g(x)$ est positif
                %    \begin{align*}
                %        &f(x) > 0 \\
                %        \equiv & 100x + 50 > 0 \\
                %        \equiv & 100x + 50 -50 > 0 - 50 \\
                %        \equiv & 100x > -50 \\
                %        \equiv & \frac{100x}{100} > \frac{-50}{100} \\
                %        \equiv & x > -2
                %    \end{align*}
                %    \textit{(On a divisé par 100, on n'a pas changé le sens de l'inégalité)} \\
                %    Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à -2
                %    On en déduit le tableau de signe de $f$                    
                %    \begin{center}
                %        \begin{tikzpicture}
                %            \tkzTabInit[espcl=2]%
                %            {$x$/1, Signe de $f$/2}%
                %            {$-\infty$, $-2$ , $+\infty$}
                %            \tkzTabLine{, -, z , +,}
                %        \end{tikzpicture}
                %    \end{center}
                %\end{solution}
    \end{parts}

    \question[4]
    Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
    \begin{eqnarray*}
        f(x)= (2x + 5)(1 - x)
    \end{eqnarray*}
    \begin{parts}
        \part Calculer $f(-1)$ et $f(2)$.
        \begin{solution}
            \begin{align*}
                f(-1) = (2\times (-1) + 5)(1 - (-1)) = (-2 + 5)(1 + 1) = 3\times 2 = 6 \\
                f(2) = (2\times 2 + 5)(1-2) = 9\times (-1) = -9
            \end{align*}
        \end{solution}
        \part Développer $f$
        \begin{solution}
            \begin{align*}
                f(x) &= (2x + 5)(1 - x)  \\
                &= 2x \times 1 + 2x \times (-x) + 5\times 1 + 5 \times (-x) \\
                &= 2x -2x^2 + 5 -5x \\
                &= -2x^2 - 3x + 5
            \end{align*}
        \end{solution}
        \part Résoudre l'équation $f(x) = 5$ \textit{(Astuce: passer par la forme développée)}
        \begin{solution}
            \begin{align*}
                f(x) = 5 &\equiv -2x^2-3x + 5 = 5 \\
                &\equiv -2x^2 - 3x + 5 - 5 = 5 - 5 \\
                &\equiv -2x^2  -3x = 0 \\
                &\equiv x(-2x - 3) = 0 \\
                &\equiv x = 0 \mbox{ ou } -2x - 3 = 0 \\
                &\equiv x = 0 \mbox{ ou } 2x = 3 \\
                &\equiv x = 0 \mbox{ ou } x = \frac{3}{2} 
            \end{align*}
            Donc les solutions de cette équation sont $\mathcal{S} = \left\{ 0; \frac{3}{2} \right\}$.
        \end{solution}
    %    \part Tracer le tableau de signe de $f$.
    %    \begin{solution}
    %        Tableau de signe de $f$
    %        \begin{multicols}{2}
    %            On cherche les valeurs de $x$ telles que $2x + 5$ soit positif
    %            \begin{align*}
    %                2x + 5 &>& 0 \\
    %                2x &>& -4 \\
    %                x &>& \frac{-4}{2} = -2
    %            \end{align*}
    %            \textit{(On a divisé par 2, on n'a pas changé le sens de l'inégalité)}\\
    %            $2x + 5$ est positif quand $x$ est supérieur à -2
    %            \columnbreak
    %            On cherche les valeurs de $x$ telles que $1-x$ soit positif
    %            \begin{align*}
    %                1-x &>& 0 \\
    %                -x &>& -1 \\
    %                x &<& 1
    %            \end{align*}
    %            \textit{(On a divisé par -1, on a changé le sens de l'inégalité)}\\
    %            $1-x$ est positif quand $x$ est inférieur à 1
    %        \end{multicols}
    %        On en déduit le tableau de signe de $f$
    %        \begin{center}
    %            \begin{tikzpicture}
    %                \tkzTabInit[espcl=2]%
    %                {$x$/1,Signe de $2x+5$/2, Signe de $1-x$/2, Signe de $f$/2}%
    %                {$-\infty$, $-2$ ,$1$, $+\infty$}
    %                \tkzTabLine{, -, z,+ ,t, +,}
    %                \tkzTabLine{, +, t,+ ,z, -,}
    %                \tkzTabLine{, -, z,+ ,z, -,}
    %            \end{tikzpicture}
    %        \end{center}
    %    \end{solution}
    %    \part Résoudre l'inéquation $f(x) \geq  0$.
    %    \begin{solution}
    %        Les solutions de cette inéquations se trouvent là où il y a des $+$ dans le tableau de signe. Donc $\mathcal{S} = \intFF{-2}{1}$.
    %    \end{solution}
    \end{parts}
    
    \question[5]
    Le taux de réussite au Bac STMG en France en 2012 a été de 67,3\%. On s'intéresse à une classe de 35 élèves.
    \begin{parts}
            \part Quel est l'échantillon étudié? Quelle est sa taille?
            \begin{solution}
                L'échantillon est la classe de stmg. Ça taille est de 35 élèves.
            \end{solution}
            \part Dans au moins 95\% des cas, dans quelle intervalle le  taux de réussite de cette classe se trouvera-t-il?
            \begin{solution}
                On calcule l'intervalle de fluctuation
                \begin{align*}
                    I_f = \intFF{p - \frac{1}{\sqrt{n}}}{p + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \intFF{0,673 - \frac{1}{\sqrt{35}}}{0,673 + \frac{1}{\sqrt{35}}} = \intFF{0,50}{0,84}
                \end{align*}
            \end{solution}
            \part Semble-t-il possible que 80\% de la classe ait son bac?
            \begin{solution}
                Si $\hat{p} = 0,8$ alors on a bien $\hat{p} \in \intFF{0,50}{0,84}$. Il semble donc possible que 80\% de la classe ait son bac.
            \end{solution}
        %\part On s'intéresse maintenant à l'ensemble des élèves en STMG du lycée c'est à dire 92 élèves.
        %\begin{subparts}
        %    \subpart Dans au moins 95\% des cas, dans quelle intervalle le  taux de réussite du lycée se trouvera-t-il?
        %    \subpart Semble-t-il possible que 80\% du lycée ait son bac?
        %\end{subparts}
    \end{parts}


    \question[3]
    % Échantillonnage
    Après plusieurs années d'expérience, M.Qualcultou estime qu'un élève est en retard avec probabilité $p = 0,05$. 

    Un de ses élèves, Antoine Laivepato, est arrivé 30 fois en retard sur les 160 jours de cours. Inquiet, M.Qualcultou cherche a savoir si le comportement d'Antoine est "normal".
    \begin{parts}
        \part Est-ce que M.Qualcultou peut utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation? Justifier
        \begin{solution}
            Pour utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation il faut que
            \begin{itemize}
                \item $n > 25$
                \item $0,2 < p < 0,8$
            \end{itemize}
            Ici $n = 160$ donc la première condition est vérifiée et $p = 0,05$ la deuxième condition n'est pas vérifiée. On ne peut donc pas utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation.
        \end{solution}
        
        \textit{Si vous estimez qu'il ne peut pas, ne répondez pas aux questions qui suivent.}

        \part Calculez l'intervalle de fluctuation.
        \part Pensez vous que le comportement d'Antoine est normal?
    \end{parts}

\end{questions}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

