\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/tools/style/classDS} \usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/2014_2015} \usepackage{tikz} % Title Page \titre{1} % \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG \classe{\seconde} \date{01 octobre 2014} \duree{1 heure} %\sujet{%{{infos.subj%}}} % DS DSCorr DM DMCorr Corr \typedoc{DS} \begin{document} \maketitle \printanswers Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. \\ \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Présentation & \Large $\cdots / 2$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \normalsize \begin{questions} \vfill \question[5] \newcommand{\monaxe}{% \begin{tikzpicture} \draw[->] (0,0) -- (3,0); \end{tikzpicture} } \newcommand{\axeCustom}[4]{% \begin{tikzpicture} \draw[->] (0,0) -- (3,0); \coordinate (A) at (0.5,0); \coordinate (B) at (2.5,0); \draw[line width=.1cm] (A) -- (B); \draw (A) node[scale=2]{#1} node[above left]{#2}; \draw (B) node[scale=2]{#4} node[above right]{#3}; \end{tikzpicture} } \newcommand{\infAxe}[2]{% \begin{tikzpicture} \draw[->] (0,0) -- (3,0); \coordinate (A) at (0.5,0); \coordinate (B) at (2.5,0); \draw[line width=.1cm] (A) -- (B); \draw (A) node[scale=2]{#1} node[above left]{#2}; \end{tikzpicture} } \newcommand{\MinfAxe}[2]{% \begin{tikzpicture} \draw[->] (0,0) -- (3,0); \coordinate (A) at (0.5,0); \coordinate (B) at (2.5,0); \draw[line width=.1cm] (A) -- (B); \draw (B) node[scale=2]{#1} node[above left]{#2}; \end{tikzpicture} } Compléter le tableau suivant \begin{center} \ifprintanswers \begin{tabular}{|*{3}{c|}p{5cm}|} \hline \rowcolor{highlightbg} Inégalité & Intervalle & Représentation graphique & En français \\ \hline $-2 \leq x \leq 4$& $\intFF{-2}{4}$ & \axeCustom{[}{-2}{4}{]} & $x$ est supérieur ou égale à -2 et inférieur ou égale à 4\\ \hline $x > 0$ & $x \in \intOO{0}{+\infty}$ & \infAxe{[}{0} & $x$ est strictement supérieur à 0 \\ \hline $ -4 \leq x < -2$& $x \in \intFO{-4}{-2}$ & \axeCustom{[}{-4}{-2}{[} & $x$ est supérieur ou égale à -4 et strictement inférieur à -2 \\ \hline $x < 1$ & $x \in \intOO{-\infty}{1}$ & \MinfAxe{[}{1} & $x$ est strictement plus petit que 1\\ \hline % & $x \in \R^{+}$& \monaxe & \\ % \hline \end{tabular} \else \begin{tabular}{|*{3}{c|}p{5cm}|} \hline \rowcolor{highlightbg} Inégalité & Intervalle & Représentation graphique & En français \\ \hline $-2 \leq x \leq 4$&& \monaxe & \\ \hline & $x \in \intOO{0}{+\infty}$ & \monaxe & \\ \hline && \axeCustom{[}{-4}{-2}{[} & \\ \hline && \monaxe & $x$ est strictement plus petit que 1\\ \hline % & $x \in \R^{+}$& \monaxe & \\ % \hline \end{tabular} \fi \end{center} \vfill \question[5] On joue avec un dé équilibré à 8 faces (numérotées de 1 à 8). On le lance une seul fois et on s'intéresse au résultat obtenu. \begin{parts} \part Quel est l'univers de l'expérience? \begin{solution} Univers de l'expérience est \begin{eqnarray*} \Omega & = & \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \right\} \end{eqnarray*} \end{solution} \part Donner un évènement élémentaire, un évènement impossible et un évènement différent des deux premiers. \begin{solution} \begin{itemize} \item Un évènement élémentaire: $\left\{ 1 \right\}$ \item Un évènement impossible: $\left\{ 0 \right\}$ \item Un évènement quelconque: $\left\{ 2, 5, 7 \right\}$ \end{itemize} \end{solution} \part Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Justifier le calcul de probabilité quand l'issue est 4. \begin{solution} Loi de probabilité de cette expérience aléatoire \begin{center} \begin{tabular}{|c|*{8}{c|}} \hline Issues & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline Probabilité & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} $P({4}) = \frac{1}{8}$ car il y a une seule façon d'obtenir 4 sur 8 issues au total. \end{solution} %\part Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3? \part On note $A = \left\{ \mbox{ le nombre est pair } \right\}$. Quelles sont issues de $A$? Calculer la probabilité de $A$. \begin{solution} Issues de $A$: \begin{eqnarray*} A & = & \left\{ \mbox{ le nombre est pair } \right\} = \left\{ 2, 4, 6, 8 \right\} \end{eqnarray*} Donc \begin{eqnarray*} P(A) & = & \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*} car il y a 4 nombres pairs sur 8 issues au total. \end{solution} \end{parts} \vfill \pagebreak \question[4] Une agence de voyage étudie les voyages vendus sur le mois dernier: \begin{center} \begin{tabular}{|>{\columncolor{highlightbg}}c|*{5}{c|}} \hline \rowcolor{highlightbg} & Europe & Asie & Afrique & Amérique & Total \\ \hline Séjour & 0 & 4 & 10 & 3 & 17 \\ \hline Circuit & 8 & 8 & 6 & 11 & 33 \\ \hline Total & 8 & 12 & 16 & 14 & 50\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{parts} \part On interroge au hasard une personne ayant acheté un voyage pendant le mois étudié. Donner, en justifiant, la probabilité des évènements suivants arrondis à $10^{-1}$près. \begin{subparts} \subpart $A = \left\{ \mbox{ A acheté un circuit } \right\}$ \begin{solution} \begin{eqnarray*} P(A) & = & \frac{33}{50} \approx 0.7 \end{eqnarray*} Car il y a 33 personnes qui ont achetés un circuit sur 50 personnes au total. \end{solution} \subpart $B = \left\{ \mbox{ A acheté un voyage en Asie } \right\}$ \begin{solution} \begin{eqnarray*} P(B) & = & \frac{12}{50} \approx 0.2 \end{eqnarray*} Car il y a 12 personnes qui ont achetés un voyage en Asie sur 50 personnes au total. \end{solution} \subpart $C = \left\{ \mbox{ A acheté un un voyage en Europe ou en Afrique } \right\}$ \begin{solution} \begin{eqnarray*} P(C) & = & \frac{24}{50} \approx 0.5 \end{eqnarray*} Car il y a 24 personnes qui ont achetés un voyage en Europe ou en Afrique ($8 + 16 = 24$) sur 50 personnes au total. \end{solution} \end{subparts} \part Si on interroge uniquement les personnes ayant acheté un séjour, quelle est la probabilité pour qu'une personne tirée au hasard soit allée en Afrique? \begin{solution} \begin{eqnarray*} P & = & \frac{10}{17} \approx 0.6 \end{eqnarray*} Car il y a 10 personnes qui ont achetés un séjour en Afrique sur 17 personnes qui ont choisis un séjour. \end{solution} \end{parts} \vfill \question[4] Pour organiser le passage à l'oral de leur épreuve de langue, les élèves tirent au hasard deux cartons dans chacune des deux urnes. \begin{itemize} \item La première urne contient les lettres "A", "B" et "C". %\item La seconde urne contient les chiffres "25" et "27". \item La troisième urne contient les mots "Matin" et "Après midi". \end{itemize} Par exemple, si l'élève tire "A" puis "Matin", il passera son oral le matin avec le sujet A. \begin{parts} \part Faire l'arbre de probabilité correspondant à l'expérience. \begin{solution} faire l'arbre \end{solution} \part Combien y a-t-il de d'issues différentes? \begin{solution} Pour connaître le nombres d'issues, il faut compte le nombre de feuilles. Ici, on en compte 6. \end{solution} \part Quelle est la probabilité pour qu'un élève passe sur le sujet $A$ ou $B$ le matin? \begin{solution} On compte 2 issues avec $A$ ou $B$ et matin (entourée dans l'arbre). Donc \begin{eqnarray*} P(\left\{ \mbox{ Sujet $A$ ou $B$ et matin } \right\}) & = & P(\left\{ \mbox{ Sujet $A$ et matin} \right\}) + \\ & & \qquad P(\left\{ \mbox{ Sujet $B$ et matin} \right\})\\ & = & \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \\ & = & \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \\ & = & \frac{2}{6} \\ & = & \frac{1}{3} \end{eqnarray*} \end{solution} %\part (Bonus) Quelle est la probabilité pour qu'un élève passe avec le sujet "B" le matin? \end{parts} \end{questions} \vfill \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: