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\titre{DS 4}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\seconde}
\date{1é décembre 2014}
%\duree{1 heure}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DS}

\printanswers

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{questions}
    
    \vfill
    \question[5]
    \begin{parts}
        \part Quel est le nom de la figure suivante. Quelles sont les faces visibles?
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.2]{./fig/pyramid.png}
        \end{center}
        \begin{solution}
            La figure est un pyramide. Les faces visibles sont les faces $BFC$ et $CFD$.
        \end{solution}
        \part Vous répondrez aux questions suivantes à partir du pavé droit ci-dessous.

        \begin{minipage}{0.4\textwidth}
            \includegraphics[scale=0.3]{./fig/paveDroit}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        \begin{subparts}
            \subpart Dessiner ce pavé droit de façon à ce que les faces $AEHD$, $EHCF$ et $DHGC$ soient visibles.
            \begin{solution}
                \includegraphics[scale=0.2]{./fig/paveDroit_corr}
            \end{solution}
            \subpart Calculer le volume de ce pavé droit.
            \begin{solution}
                Volume du pavé
                \begin{eqnarray*}
                    V & = & 5\times3\times4 = 60
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}
            \subpart Calculer la longueur $AC$.
            \begin{solution}
                Calcul de la longueur $AC$:

                Comme $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ d'après le théorème de Pythagore, on a
                \begin{eqnarray*}
                    AC^2 & = & AB^2 + BC^2\\
                    AC^2 &=& 5^2 + 3^2\\
                    AC^2 &=& 25 + 9 \\
                    AC^2 &=& 34\\
                    AC &=& \sqrt{34} \approx 5,8
                \end{eqnarray*}
                $AC$ mesure environ 5,8cm.
            \end{solution}
        \end{subparts}
        \end{minipage}
    \end{parts}
    \vfill

    \question[5]
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
            \repere{-6}{6}{-6}{6}
            \draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-4, -4) (-3.5, -3) (-3, 0) (-2, 1) (-1, 0) (0, -3) (1, 0) (2, -3) (2.5,0) (3, 2) (4, 3)};
            \draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
        \end{tikzpicture}
    \end{center}

    \begin{parts}
        \part Tracer le tableau de variation de le fonction représentée sur le graphique.
        \begin{solution}

            \begin{tikzpicture}
                \tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{-4, -2, 0, 1, 2, 4}
                \tkzTabVar{-/{-4}, +/{1}, -/{-3}, +/{0}, -/{-3}, +/{3}}
            \end{tikzpicture}
        \end{solution}
        \part Sur quels intervalles cette fonction est-elle décroissantes?
        \begin{solution}
            La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\intFF{-2}{0}$ et $\intFF{1}{2}$.
        \end{solution}
        \part Quel est le minimum de la fonction sur l'intervalle $\intFF{-1}{3}$?
        \begin{solution}
            Sur l'intevalle $\intFF{-1}{3}$, le minimum de $f$ est -3, il est atteind pour $x = 0$ ou $x = 2$
        \end{solution}
        \part À partir de ce graphique, résoudre l'équation $f(x) = -3$
        \begin{solution}
            Les solutions de l'équation $f(x) = -3$ sont $x = -3,5$, $x =  0$ et $x = 2$.
        \end{solution}
    \end{parts}

    \vfill
    \question[5]
    \begin{tikzpicture}
        \tkzTabInit[]{$x$/1,$g(x)$/1}{$-3$, $-0.5$, $0$,$-1$,$+\infty$}
        \tkzTabVar{+/{2}, -/{-3}, +/{0}, -/{1}, +/}
    \end{tikzpicture}
    \begin{parts}
        \part Quel est l'intervalle de définition de la fonction $g$?
        \begin{solution}
            L'intervalle de définition de $g$ est $\intFF{-3}{+\infty}$.
        \end{solution}
        \part Sur quels intervalles cette fonction est-elle décroissantes?
        \begin{solution}
            La fonction $g$ est décroissante sur les intervalles $\intFF{-3}{-0,5}$ et $\intFF{0}{1}$.
        \end{solution}
        \part Quels est le minimum de cette fonction sur l'intervalle $\intFF{-3}{1}$?
        \begin{solution}
            Sur l'intervalle $\intFF{-3}{1}$ le minimum de $g$ est -3, il est atteind pour $x=-0,5$.
        \end{solution}
        \part Tracer une fonction qui a ce tableau de variation.
        \begin{solution}
            Voici une fonction possible.
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
                    \repere{-4}{4}{-4}{5}
                    \draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.2, mark=*] coordinates{(-3, 2) (-0.5, -3) (0, 0) (1, -1) (4, 5) };
                    \draw (4,5) node[above right] {$\mathcal{C}_g$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            
        \end{solution}
        \part Quel est le plus grand de ces deux nombres $g(-2)$ et $g(-1)$?
        \begin{solution}
            Comme la fonction est décroissante sur $\intFF{-3}{-0,5}$ et que -2 et -1 sont dans cet intervalle.
            \begin{eqnarray*}
                -2 < -1 & \mbox{ implique } & f(-2) > f(-1)
            \end{eqnarray*}
            Donc $f(-2)$ est plus grand que $f(-1)$.
        \end{solution}
    \end{parts}

    \vfill
    \question[5]
    L'entreprise Cducosto produit des outils de bricolages.
    \begin{parts}
        \part Leur premier produit est un marteau. Voici le graphique représentant les bénéfices en fonction du nombre de marteau qu'elle produit et vend.

        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
                \tkzInit[xmin=0,xmax=150,
                ymin=-200,ymax=300,
                xstep=10,ystep=50]
                \tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
                \tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
                \tkzDrawX[label={\textit{Nombre de marteau}},below= -12pt]
                \tkzDrawY[label={\textit{Bénéfices}}, below=-10pt]
                \tkzGrid
                \tkzFct[domain=0:150,color=blue, very thick]{-0.05*\x*\x + 7.5*\x - 180}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}

        \begin{subparts}
            \subpart Tracer le tableau de signe de cette fonction.
            \begin{solution}

                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[]{$x$/1,$g(x)$/1}{0, 30, 120, 150}
                    \tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
                \end{tikzpicture}

            \end{solution}
            \subpart Sur quel intervalle doit-elle restreindre sa production pour que ses bénéfices soient positifs?
            \begin{solution}
                Pour que les bénéfices soient positifs , il faut que la production reste sur l'intervalle $\intFF{3}{120}$
            \end{solution}
        \end{subparts}

        \part Leur deuxième produit est une visseuse automatique. Le bénéfice liés à cet outil est donné par la fonction suivante:
        \begin{eqnarray*}
            f:x & \mapsto & 2x - 3
        \end{eqnarray*}
        \begin{subparts}
            \subpart Tracer le tableau de signe de cette fonction.
            \begin{solution}
                On cherche là où la fonction $f$ est positive
                \begin{eqnarray*}
                    f(x) & > &0\\
                    2x - 3 & > & 0 \\
                    2x & > & 3 \\
                    && \mbox{2 est positif, on ne change}\\
                    && \mbox{le sens de l'inégalité}\\
                    x &>& \frac{3}{2} = 1,5
                \end{eqnarray*}
                On ne déduit le tableau de signe (on commence le tableau en 0 car on ne peut pas produire un nombre négatif de visseuses)

                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[]{$x$/1,$f(x)$/1}{0, {1,5}, $+\infty$}
                    \tkzTabLine{ ,-, z, +,}
                \end{tikzpicture}
                
            \end{solution}
            \subpart À partir de combien de visseuses l'entreprise fait-elle du bénéfice?
            \begin{solution}
                À partir de 2 visseuses l'entreprise fait des bénéfices (là où dans le tableau au dessus il y a un +)
            \end{solution}
            \subpart Tracer le tableau de variation de cette fonction.
            \begin{solution}
                $f$ est une fonction affine et $a = 2$ est positif. Donc $f$ est une fonction croissante

            \begin{tikzpicture}
                \tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{0, $+\infty$}
                \tkzTabVar{-/{}, +/{}}
            \end{tikzpicture}
            \end{solution}
        \end{subparts}
        

        
    \end{parts}
\end{questions}

    \vfill
\end{document}

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