\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/tools/style/classDS}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}
% Pour les formes

% Title Page
\titre{Révision - calculs}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\seconde}
\date{Avril  2015}
\typedoc{DS}

\printanswers

\begin{document}

\begin{questions}

    \question Développer et simplifier les expressions suivantes
    
        
        
        
        \begin{parts}
            \part $A = -7 x^{  2 } + 10 + 9 x^{  2 } + 5 x + 1$
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    A &=& -7 x^{  2 } + 10 + 9 x^{  2 } + 5 x + 1\\
                    A &=& -7 x^{  2 } + 9 x^{  2 } + 5 x + 1 + 10\\
                    A &=& 2 x^{  2 } + 5 x + 11 
                \end{eqnarray*}
                
            \end{solution}

            \part $B = ( 8 x + ( -8 ) ) ( 8 - 8 x )$
            \begin{solution}
             \begin{eqnarray*}
                 B &=& ( 8 x + ( -8 ) ) ( 8 - 8 x ) \\
                 B &=& 8x\times 8 + 8x\times (-8x) + (-8)\times 8 + (-8)\times (-8x) \\
                 B &=& 64x - 64x^2 - 64 + 64x \\
                 B &=& -64x^2 + 128x - 64
             \end{eqnarray*}
            \end{solution}

            \part $C = ( 4 x + 7 )^{  2 } + ( -9 )$
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    C & = & ( 4 x + 7 )^{  2 } + ( -9 ) \\
                    C & = & 16x^2 + 2 \times 4x \times 7 + 49 - 9 \\
                    C & = & 16x^2 + 56x + 40
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}

            \part $D = 4 ( 5 x + ( -4 ) )^{  2 } + 4 x + 4$
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    D & = & 4 ( 5 x + ( -4 ) )^{  2 } + 4 x + 4 \\
                    D & = & 4 \left( 25x^2 + 2 \times 5x \times (-4) + 16 \right) + 4x + 4 \\
                    D & = & 4 \times 25x^2 + 4 \times (-40x) + 4\times 16 + 4x + 4 \\
                    D & = & 100x^2 - 160x + 64 + 4x + 4 \\
                    D & = & 100x^2 - 154x + 68
                \end{eqnarray*}
                
            \end{solution}
        \end{parts}

        \question Factoriser les expressions suivantes
        
        \begin{parts}
            \part $A = 2 x^{  2 } - x$
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    A & = & 2x^2 - x \\
                    A & = & 2 \times x \times \underline{x} - 1 \times \underline{x} \\
                    A & = & \underline{x} (2x - 1) \\
                    A & = & x(2x - 1)
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}

            \part $B = 1 x^{  2 } - 10 x + 25$
            \begin{solution}
                Ici on reconnait l'identité remarquable \\ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 5$.
                \begin{eqnarray*}
                    B & = & 1 x^{  2 } - 10 x + 25 \\
                    B & = & (x - 5)^2
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}

            \part $C = 16 x^{  2 } + 81 + 72 x$
            \begin{solution}
                Ici on reconnait l'identité remarquable \\ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 4x$ et $b = 9$.
                \begin{eqnarray*}
                    C & = & 16 x^{  2 } + 81 + 72 x \\
                    C & = & 16x^2 + 72x + 81 \\
                    C & = & (4x + 9)^2
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}

            \part $D = 81 x^{  2 } - 64$
            \begin{solution}
                Ici on reconnait l'identité remarquable \\ $(a + b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $a = 9x$ et $b = 8$.
                \begin{eqnarray*}
                    D & = & 81x^2 - 64 \\
                    D & = & (9x + 9)(9x - 8)
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}
        \end{parts}

        \question Résoudre les équations suivantes
        
        \begin{parts}
            \part $- 7 x + 6 = 0$
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    -7x + 6 = 0 & \equiv & -7x + 6 \textcolor{red}{- 6} = 0 \textcolor{red}{- 6} \\
                    & \equiv & -7x = -6 \\
                    & \equiv & \frac{-7x}{\textcolor{red}{-7}} = \frac{-6}{\textcolor{red}{-7}} \\
                    & \equiv & x = \frac{6}{7}
                \end{eqnarray*}
                Donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{6}{7} \right\}$
            \end{solution}

            \part $- 2 x - 7 = 9 x - 10$
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    -2x - 7 = 9x - 10 & \equiv & -2x - 7 + 7 = 9x - 10 + 7 \\
                    & \equiv & -2x - 9x = 9x - 3 - 9x \\
                    & \equiv & -11x = -3 \\
                    & \equiv & \frac{-11x}{-11} = \frac{-3}{-11} \\
                    & \equiv & x = \frac{3}{11}
                \end{eqnarray*}
                Donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{3}{11} \right\}$
            \end{solution}

            \part $- 5 x + 7 = - 8 x - 2$
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    -5x + 7 = -8x - 2 & \equiv & -5x + 7 - 7 = -8x - 2 - 7 \\
                    & \equiv & -5x + 8x = -8x - 9 + 8x \\
                    & \equiv & 3x = -9 \\
                    & \equiv & \frac{3x}{3} = \frac{-9}{3} \\
                    & \equiv & x = -3
                \end{eqnarray*}
                Donc $\mathcal{S} = \left\{ -3 \right\}$
            \end{solution}

            \part $( 4 x + 4 ) ( -3 x - 2 ) = 0$
            \begin{solution}
                \begin{eqnarray*}
                    &(4x + 4)(-3x-2) = 0&  \\
                    4x+4 = 0 &\mbox{ ou }& -3x - 2 = 0 \\
                    4x + 4 - 4 = 0 - 4 &\mbox{ ou }& -3x - 2 + 2 = 0 + 2 \\
                    4x = - 4 &\mbox{ ou }& -3x = 2 \\
                    \frac{4x}{4} = \frac{- 4}{4} &\mbox{ ou }& \frac{-3x}{-3} = \frac{2}{-3} \\
                    x = -1 &\mbox{ ou }& x = \frac{-2}{3} \\
                \end{eqnarray*}
                Donc $\mathcal{S} = \left\{ -1 ; \frac{-2}{3} \right\}$
            \end{solution}
        \end{parts}

        \question 
        \begin{parts}
            \part Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes et vérifier le résultat à la calculatrice.
            \begin{subparts}
                \subpart $f(x) = 5 x + 3$
                \begin{solution}
                    On cherche les valeurs de $x$ telles que $f(x)$ soit positif
                    \begin{eqnarray*}
                        f(x) & > & 0 \\
                        5x + 3 & > & 0 \\
                        5x + 3 - 3 & > & 0 - 3 \\
                        5x & > & -3 \\
                        \frac{5x}{5} & > & \frac{-3}{5} \\
                        x & > & \frac{-3}{5}
                    \end{eqnarray*}
                    \textit{(on a divisé par 5, positif, on n'a pas changé le sens de l'inégalité)}

                    Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\frac{-3}{5}$. On en déduit le tableau de signe de $f$
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[espcl=2]%
                            {$x$/1, Signe de $f$/2}%
                            {$-\infty$, $\frac{-3}{5}$ , $+\infty$}
                            \tkzTabLine{, -, z , +,}
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
                \end{solution}

                \subpart $g(x) = (- 4 x - 4)(- 6 x - 4)$
                \begin{solution}
                    \textit{(Dans cette exercice et dans les suivants, je ne detaillerai pas tous les calculs. Si vous n'ètes pas très à l'aise, je vous conseille d'écrire tous les détails.)}
                    \begin{multicols}{2}
                        On cherche les valeurs de $x$ telles que $-4x-4$ soit positif
                        \begin{eqnarray*}
                            -4x-4 & > & 0 \\
                            -4x & > & 4 \\
                            \frac{-4x}{-4} & \textcolor{red}{<} & \frac{4}{-4} \\
                            x & < & -1
                        \end{eqnarray*}
                        \textit{(On a divisé par -4, négatif, on a changé le sens de l'inégalité)}

                        Donc $-4x-4$ est positif quand $x$ est inférieur à -1
                        
                        \columnbreak
                        
                        On cherche les valeurs de $x$ telles que $-6x-4$ soit positif
                        \begin{eqnarray*}
                            -6x-4 & > & 0 \\
                            -6x & > & 4 \\
                            \frac{-6x}{-6} & \textcolor{red}{<} & \frac{4}{-6} \\
                            x & < & \frac{-2}{3}
                        \end{eqnarray*}
                        \textit{(On a divisé par -6, négatif, on a changé le sens de l'inégalité)}

                        Donc $-6x-4$ est positif quand $x$ est inférieur à $\frac{-2}{3}$.
                    \end{multicols}
                    On en déduit le tableau de signe de $g$
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[espcl=2]%
                            {$x$/1, Signe de $-4x-4$/2, Signe de $-6x-4$/2 , Signe de $g$/2}%
                            {$-\infty$, -1, $\frac{-2}{3}$ , $+\infty$}
                            \tkzTabLine{,+,z, -, t , -,}
                            \tkzTabLine{,+,t, +, z , -,}
                            \tkzTabLine{,+,z, -, z , +,}
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
                \end{solution}
                \subpart $h(x) = (7 x - 4)(- x + 4)$
                \begin{solution}
                    \begin{multicols}{2}
                        On cherche les valeurs de $x$ telles que $7x-4$ soit positif
                        \begin{eqnarray*}
                            7x-4 & > & 0 \\
                            7x & > & 4 \\
                            \frac{7x}{7} & > & \frac{4}{7} \\
                            x & > & \frac{4}{7}
                        \end{eqnarray*}
                        \textit{(On a divisé par 7, négatif, on ne change pas le sens de l'inégalité)}

                        Donc $7x-4$ est positif quand $x$ est supérieur à $\frac{4}{7}$.
                        
                        \columnbreak
                        
                        On cherche les valeurs de $x$ telles que $-x+4$ soit positif
                        \begin{eqnarray*}
                            -x+4 & > & 0 \\
                            -x & > & -4 \\
                            x & \textcolor{red}{<} & 4 \\
                        \end{eqnarray*}
                        \textit{(On a divisé par -1, négatif, on a changé le sens de l'inégalité)}

                        Donc $-x+4$ est positif quand $x$ est inférieur à $4$.
                    \end{multicols}
                    On en déduit le tableau de signe de $h$
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[espcl=2]%
                            {$x$/1, Signe de $7x-4$/2, Signe de $-x+4$/2 , Signe de $h$/2}%
                            {$-\infty$, $\frac{4}{7}$, 4, $+\infty$}
                            \tkzTabLine{,+,z, -, t , -,}
                            \tkzTabLine{,+,t, +, z , -,}
                            \tkzTabLine{,+,z, -, z , +,}
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
                \end{solution}
            \end{subparts}
            \part Résoudre les équations suivantes
            \begin{subparts}
                \subpart $g(x) \leq 0$
                \begin{solution}
                    Pour résoudre cette équation, on regarde où sont les - dans le tableau de signe de $g$. Les solutions de cette équation sont donc $\mathcal{S}=\intFF{-1}{\frac{-2}{3}}$ \textit{(les crochets sont vers l'intérieur car c'est un $\leq$)}.
                \end{solution}
                \subpart $h(x) > 0$
                \begin{solution}
                    Pour résoudre cette équation, on regarde où sont les + dans le tableau de signe de $h$. Les solutions de cette équation sont donc $\mathcal{S}=\intOO{-\infty}{\frac{4}{7}} \cup \intOO{4}{+\infty}$ \textit{(les crochets sont vers l'extérieur car c'est un $>$)}.
                \end{solution}
                \subpart $h(x) \geq 0$
                \begin{solution}
                    Pour résoudre cette équation, on regarde où sont les + dans le tableau de signe de $h$. Les solutions de cette équation sont donc $\mathcal{S}=\intOF{-\infty}{\frac{4}{7}} \cup \intFO{4}{+\infty}$ .
                \end{solution}
                \subpart $f(x) > 4x - 1 $
                \begin{solution}
                    On ne pas résoudre cette inéquation avec la tableau de signe car on cherche quand $f(x)$ est plus grand que $4x-1$ et non à savoir s'il est positif ou négatif. On doit donc résoudre cette équation de manière classique.
                    \begin{eqnarray*}
                        f(x) & > & 4x - 1 \\
                        5x + 3 & > & 4x - 1 \\
                        5x - 4x & > & -1 -3 \\
                        x & > & -4
                    \end{eqnarray*}
                    Donc les solutions de cette inéquation sont $\mathcal{S} = \intOO{-4}{+\infty}$
                    
                \end{solution}
            \end{subparts}
        \end{parts}

    \question \textbf{Correction de l'exercice 56 de la fiche sur l'échantillonnage.}
    En lisant l'énoncé, on peut lire les éléments suivants
    \begin{eqnarray*}
        p = 20\% = 0,2 \qquad n = 40 \qquad \hat{p} = 27,5\% = 0,275
    \end{eqnarray*}
    On voudrait appliquer le théorème de l'intervalle de fluctuation. On commence par vérifier les 2 hypothèses
    \begin{itemize}
        \item Hypothèse 1: $0,2 \leq p \leq 0,8$. Comme $p = 0,2$ cette hypothèse est vérifiée.
        \item Hypothèse 2: $n > 25$. Comme $n = 40$ cette hypothèses est vérifiée.
    \end{itemize}
    On peut donc calculer l'intervalle de fluctuation
    \begin{eqnarray*}
        I_f = \intFF{p - \frac{1}{\sqrt{n}}}{p + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \intFF{0,2 - \frac{1}{\sqrt{40}}}{0,2 + \frac{1}{\sqrt{40}}} = \intFF{0.042}{0,358}
    \end{eqnarray*}
    On constate que $\hat{p} \in I_f$ donc la situation est normale. Il n'y a pas de raison de s'inquiéter.
    
    \question \textbf{Correction de l'exercice 61 de la fiche sur l'échantillonnage.}
    \begin{parts}
        \part Intervalle de fluctuation pour $n = 76$ (entreprise de M.Petijean)
        \begin{eqnarray*}
            I_f = \intFF{p - \frac{1}{\sqrt{n}}}{p + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \intFF{0,5 - \frac{1}{\sqrt{76}}}{0,5 + \frac{1}{\sqrt{76}}} = \intFF{0,385}{0,615}
        \end{eqnarray*}
        \part Intervalle de fluctuation pour $n = 1350$ (entreprise de M.Granjean)
        \begin{eqnarray*}
            I_f = \intFF{p - \frac{1}{\sqrt{n}}}{p + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \intFF{0,5 - \frac{1}{\sqrt{1350}}}{0,5 + \frac{1}{\sqrt{1350}}} = \intFF{0,472}{0,527}
        \end{eqnarray*}
        \part 
        \begin{itemize}
            \item Pour l'entreprise Petijean, $\hat{p} = 39,5\% = 0,395 \in \intFF{0,385}{0,615}$ donc l'entreprise respecte la parité.
            \item Pour l'entreprise Granjean, $\hat{p} = 46\% = 0,46 \not\in \intFF{0,472}{0,572}$ donc l'entreprise ne respecte pas la parité.
        \end{itemize}
    \end{parts}
        
\end{questions}


\end{document}

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