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% Title Page
\titre{Forme Canonique}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{Novembre 2014}

\begin{document}
\maketitle

\section{Forme développée}

\begin{Def}
    $P$ est \textbf{une fonction polynome du second degré} quand elle est définie sur $\R$ et qu'elle peut s'écrire sous la forme
    \begin{eqnarray*}
        P:x & \mapsto & ax^2 + bx + c
    \end{eqnarray*}
    où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a \neq 0$.

    Cette forme est appelée forme \textbf{développée}. $a$, $b$ et $c$ sont appelés \textbf{coéfficients} du polynôme.
\end{Def}

\begin{Ex}
    Passer d'une forme quelconque à la forme développée pour identifier 
\end{Ex}

\section{Représentation graphique}

\begin{Prop}
    La courbe représentative d'un polynôme du second degré $P:x \mapsto ax^2 + bx = c$ est une \textbf{parabole}:
    Deux graphiques en fonction du signe de $a$
\end{Prop}

\section{Forme canonique}

La forme canonique d'un polynôme permet de lire les coordonnées du sommet de la parabole dans l'écriture du polynôme. 

\begin{Prop}
    Soit $P:x\mapsto ax^2 + bx + c$ un polynôme du second degré.

    Alors $P$ peut s'écrire de façon unique sous la forme
    \begin{eqnarray*}
        P(x) & = & a(x-\alpha)^2 + \beta
    \end{eqnarray*}
    avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a}$

    C'est la forme \textbf{canonique} de $P$.
\end{Prop}

Remarque sur le sommet de la parabole et un exemple pour  passer d'une forme à une autre.



\end{document}

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%%% End: