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% Title Page
\titre{Tangente et nombre dérivé}
% \seconde \premiere \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{Septembre 2014}

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\begin{document}
\maketitle

\section{Équation d'une droite}

\begin{Def}
    Un point $M(x,y)$ est un point de la droite $\D$ si et seulement si ses coordonnées vérifie l'équation suivante
    \begin{eqnarray*}
        y & = & ax + b
    \end{eqnarray*}
    On appelle cette équation, l'équation de la $\D$.
\end{Def}

\begin{Rmq}
    \begin{itemize}
        \item $a$ est le coefficient directeur de $\D$.
        \item $b$ est l'ordonnée à l'origine de $\D$.
    \end{itemize}
\end{Rmq}

\begin{Mthd}
    Retrouver l'équation d'une droite à partir de 2 points.
\end{Mthd}

\section{Nombre dérivé}

\begin{Def}
    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I contenant $a$.

    Dire que $f$ est dérivable en $a$, c'est dire que quand $h$ tend vers 0, le taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$tend vers un réel $l$, ce que l'on note 
    \begin{eqnarray*}
        Lim \frac{f(a+h) - f(a)}{h} & = & l
    \end{eqnarray*}
    $l$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$. On le note $f'(a)$.
\end{Def}

\begin{Ex}
    Calculs de limites de taux d'accroissement sans difficultés techniques ($x^2$ en 0 et une fonction affine).

    \textit{Cf p71 exo résoluent - plus techniques que ce que je veux pour le moment}
\end{Ex}

\section{Tangente à une courbe}

\begin{Def}
    $f$ une fonction dérivable en $a$, $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative et $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $(a, f(a)$.

    \textbf{La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$} est la droite passant par $A$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$.
\end{Def}

\begin{Ex}
    Tracer la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x = 1$ où $f:x \mapsto x^2$, on donne $f'(1) = 2$.

\end{Ex}

\begin{Prop}
    $f$ une fonction dérivable en $a$, $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative et $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $(a, f(a)$.

    L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$ est 
    \begin{eqnarray*}
        y & = & f'(a)(x-a) + f(a)
    \end{eqnarray*}
    
    
\end{Prop}

\end{document}

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%%% End: