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% Title Page
\titre{Fonction dérivée}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{Décembre 2014}

\begin{document}
\maketitle

\section{Fonction dérivée}

\begin{Def}
    Soit $f$ une fonction définie sur $\mathcal{D}_f$ et $I$ un sous ensembre inclus dans $\mathcal{D}_f$.

    On dit que $f$ est \textbf{dérivable sur $I$} si et seulement si $f$ est dérible en tous points de $I$.

    La fonction qui à chaque réel $x\in I$ associe le nombre $f'(x)$ est appelée la \textbf{fonction dérivée} de $f$ sur $I$. On note cette fonction
    \begin{eqnarray*}
        f':x &\mapsto & f'(x)
    \end{eqnarray*}
\end{Def}

\begin{Rmq}
    Déterminer graphiquement si une fonction est dérivable. 

    $a$ un point de $I$, $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(h)}{h}$ existe. Dans ce cas, la courbe représentative de $f$ a une tangente en $a$. Donc $f$ n'est pas dérivable en $a$ se determine graphiquement quand la courbe représentative de $f$ n'a pas de tangente.
    \begin{itemize}
        \item Cas où $f$ est discontinue
        \item Cas où la courbe de $f$ a un angle.
    \end{itemize}
    On rappelle que dans le cas où $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)$ est le coefficent directeur de la tangente.
\end{Rmq}

\begin{Ex}
    Calcul d'une fonction dérivée à partir d'un polynôme du 2nd deg
\end{Ex}

\section{Vaiation de $f$ et signe de $f'$}

\begin{Prop}
    Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $I$.
    \begin{itemize}
        \item $f$ est \textbf{croissante} si et seulement si $f'$ est positive sur $I$.
        \item $f$ est \textbf{décroissante} si et seulement si $f'$ est négative sur $I$.
        \item $f$ est \textbf{constante} si et seulement si $f'$ est nulle sur $I$.
    \end{itemize}
\end{Prop}

\begin{Ex}
    On reprend le polynôme de l'exemple précédent et on fait le tableau de signe.
\end{Ex}

\section{Dérivation des polynômes}

On les démontre avant de faire le bilan.
\begin{Prop}
    Dérivées des fonctions usuelles.
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
            \hline
            Fonction & Domaine de définition & Domaine de dérivation & fonction dérivée \\
            \hline
            Constante $f:x\mapsto k$ &  $\R$ & $\R$ & $f':x\mapsto 0$ \\
            \hline
            Linéaire $f:x\mapsto ax$ & $\R$ & $\R$ & $f':x\mapsto a$\\
            \hline
            Carré $f:x\mapsto x^2$ & $\R$ & $\R$ & $f:x\mapsto 2x$ \\
            \hline
            Puissance $f:x\mapsto x^n$ & $\R$ & $\R$ & $f:x\mapsto n\times x^{n-1}$\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
\end{Prop}

\section{Extremum}

\begin{Prop}
    Soit $f$ dérivable sur $I$.

    Si $f$ admet un extremum (minimum ou maximum) en $a$ alors $f'(a)$ est nulle.
\end{Prop}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

