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% Title Page
\titre{1}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{29 septembre 2014}
\duree{1 heure}
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DS}

\printanswers

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\textbf{1 point} est réservé à la présentation et à la rédaction.

\begin{questions}
    
    \question[5]
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
        \draw[very thin, gray] (-4,-5) grid (6,5);
        \draw[->, thick] (-4,0) -- (6,0) node[below right] {$x$};
        \draw[->, very thick] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
        \draw (0,0) node[below right, scale=0.7 ] {$O$};
        \draw (0,1) node {-} node[left] {$J$};
        \draw (1,0) node[rotate=90] {-} node[below] {$I$};

        \draw[very thick] (-4,-4) -- (6,1) ;
        \draw (5,0.5) node [above ] {$\mathcal{D}$};
        \draw (2,-3) node {$\bullet$} node[below right] {$A$};
        \ifprintanswers
        \draw[color=red] (1,-5) -- (6,5) node[left] {$d_2$};
        \draw[color=blue] (-1,-4) -- (2,5) node[left] {$d_1$};
        \fi
    \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Pour les questions qui suivent, vous tracerez sur le sujet et vous indiquerez le nom des droites.
        \\[0.5cm]
    \begin{parts}
        \part Tracer la droite $d_2$ passant par $A$ et de coefficient directeur 2 .
        \part Tracer la droite $d_1$ d'équation $ y = 3x - 1$ .
        \part Déterminer l'équation de la droite $\mathcal{D}$.
        %\part Tracer la droite $d_2$ passant par $B(-2,3)$ et de coefficient directeur $-1$ .
    \end{parts}
    \end{minipage}
        \begin{solution}
            $B(0;-2)$ et $C(4;0)$ sont deux points de $\mathcal{D}$.\\
            On determine le coefficient directeur de $\mathcal{D}$:
            \begin{eqnarray*}
                a & = & \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C}= \frac{-2 - 0}{0 - 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}
            \end{eqnarray*}
            Donc l'équation de $\mathcal{D}$ est de la forme $y = \frac{1}{2}x + b$. Déterminons $b$.
            \begin{eqnarray*}
                B(0;-2) \in \mathcal{D} & \mbox{ donc } & -2 = \frac{1}{2} \times 0 + b \\
                 &\mbox{ donc } & b = -2
            \end{eqnarray*}
            L'équation de $\mathcal{D}$ est donc $y = \frac{1}{2} - 2$
            
            
        \end{solution}

    \vfill

    \question[5]
    \begin{center}
        \ifprintanswers
        \includegraphics[scale=0.4]{./fig/fonction_corr}
        \else
        \includegraphics[scale=0.4]{./fig/fonction}
        \fi
    \end{center}

    \begin{parts}
        \part Tracer, sans faire de calculs, la tangente à $\mathcal{C}_g$ en -2.
        \part Déterminer graphiquement $g(1)$ et $g'(1)$ ($T$ est la tangente à $\mathcal{C}_g$ en 1).
        \part Déterminer graphiquement les valeurs de $a$ telles que $g'(a) = 0$.
    \end{parts}
    \begin{solution}
        \begin{parts}
            \part Cf graphique
            \part Graphiquement on lit $g(1) = 0$.\\
            $g'(1)$ est le coefficient directeur de $T$. Les points $A(1,0)$ et $B(0,1)$ sont deux points de $T$ donc
            \begin{eqnarray*}
                g'(1) & = &  \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{0 - 1}{1 - 0} = -1
            \end{eqnarray*}
            \part $g'(a) = 0$ correspond aux tangentes horizontales. On peut voir qu'il y a deux tangentes horizontales une au points $(-1:1)$ et une autre au point $(3;-1)$. Donc les valeurs de $a$ telles que $g'(a) = 0$ sont $-1$ et $3$.
        \end{parts}
    \end{solution}

    \vfill
    \pagebreak

    \question[5]
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[yscale=0.7,xscale=1.2]
        \draw[very thin, gray] (-3,-5) grid (3,5);
        \draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$x$};
        \draw[->, very thick] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
        \draw (0,0) node[below right, scale=0.7 ] {$O$};
        \draw (0,1) node {-} node[left] {$J$};
        \draw (1,0) node[rotate=90] {-} node[below] {$I$};

        \draw (-2,2) node {$\bullet$};
        \draw (-2.5 , 4) -- (-1.5,0); 

        \draw (1,-1) node {$\bullet$};
        \draw (2,1) -- (0,-3);

        \ifprintanswers
        \draw[color = green, very thick] (-1,-1) node {$\bullet$};
        \draw[color = green, very thick] (-2 , 1) -- (0,-3); 

        \draw[color=green, very thick] (2,2) node {$\bullet$};
        \draw[color=green, very thick] (2.5 , 4) -- (1.5,0); 

        \draw[color=green, very thick] (0,-2) node {$\bullet$};
        \draw[color=green, very thick] (-1 , -2) -- (1,-2); 

        \draw[color = red, very thick] plot [domain= -2.5:2.5] (\x, {\x*\x - 2});
        \fi
    \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        On donne le tableau de valeurs correspondant à la fonction
        \begin{eqnarray*}
            f:x & \mapsto & x^2 - 2
        \end{eqnarray*}
        
        \begin{tabular}{|c|*{5}{p{.8cm}|}}
            \hline
            x &     -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
            \hline
            $f(x)$ &  2 &  & -2  & -1 &   \\
            \hline
            Nombre dérivé & -4 & -2 & & 2 & 4 \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{minipage}
    \vspace{1cm}
    \begin{parts}
        \part Calculer les éléments manquant du tableau
        \begin{solution}
            Calcul des éléments manquants dans le tableau
            \begin{eqnarray*}
                f(-1) & = & (-1)^2 - 2 = 1  - 2 = -1 \\
                f(2) & = & 2^2 - 2 = 4  - 2 = 2 \\
            \end{eqnarray*}
            Calcul du nombre dérivé en 0
            \begin{eqnarray*}
                \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} &=& \frac{h^2 - 2 - -(2)}{h} = \frac{h^2}{h} = h
            \end{eqnarray*}
            Donc quand $h$ tend vers 0, $\frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ tend vers 0. Donc
            \begin{eqnarray*}
                f'(0) & = & \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0
            \end{eqnarray*}
        \end{solution}

        \part Compléter le graphique avec les éléments du tableau.
        \begin{solution}
            En vert.
        \end{solution}
        \part Tracer précisément la courbe.
        \begin{solution}
            En rouge.
        \end{solution}
    \end{parts}

    \vfill

    \question[4]

    Alain a mis 4 musiques en lecture aléatoire sur son lecteur de musique. Le tableau suivant indique la durée en secondes de chacun de ces morceaux.
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
            \hline
            Nom du morceau & A & B & C & D  \\
            \hline
            Durée (en secondes) & 280 & 200 & 240 & 280 \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    On note $T$ le durée d'écoute de deux morceaux successifs (la lecture aléatoire permet d'écouter deux fois de suite le même morceau).
    \begin{parts}
        \part Déterminer la loi de probabilité de $T$. Justifier avec un arbre ou un tableau à double entrée.
        \begin{solution}
            Durée d'écoute pour deux morceaux
            \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
                    \hline
                    & A & B & C & D \\
                    \hline
                    A & 560 & 480 & 520 & 560  \\
                    \hline
                    B & 480 & 400 & 440 & 480  \\
                    \hline
                    C & 520 & 440 & 480 & 520  \\
                    \hline
                    D & 560 & 480 & 520 & 560  \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
            On en déduit la loi de probabilité de $T$.
            \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
                    \hline
                    Valeurs de T & 400 & 440 & 480 & 520 & 560 \\
                    \hline
                    Probabilité & $\frac{1}{16}$ & $\frac{2}{16}$ & $\frac{5}{16}$ & $\frac{4}{16}$ & $\frac{4}{16}$ \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
            Car il y a 16 issues possibles et que par exemple, il y a 5 issues qui donnent 480 d'où $P(X = 480) = \frac{5}{16}$.
        \end{solution}
        \part Quelle est la probabilité, $P(T>500)$, pour que les deux morceaux successifs durent plus de 500 secondes?
        \begin{solution}
            \begin{eqnarray*}
                P(T > 500) & = & P(T = 520) + P(T=560) \\
                & = & \frac{4}{16} + \frac{4}{16} \\
                & = & \frac{8}{16} = \frac{1}{2}
            \end{eqnarray*}
            Donc la probabilité pour que les deux morceaux durent plusde 500 secondes est de $\frac{1}{2}$.
        \end{solution}
        \part(Bonus) Quelle est la probabilité pour que les deux morceaux tirés au hasard soient les mêmes?
        \begin{solution}
            Il y a 16 issues possibles pour les choix aléatoires de deux musiques. Or il n'y a que 4 issues qui correspondent  à deux fois le même. Donc
            \begin{eqnarray*}
                P( \left\{ \mbox{ Deux fois le même morceau } \right\}) & = & \frac{4}{16} = \frac{1}{4} 
            \end{eqnarray*}
            Donc une fois sur 4, il tombera sur deux fois le même morceau.
            
        \end{solution}
    \end{parts}

\end{questions}

    \vfill
\end{document}

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%%% End:

